求解微分方程y''+y=e^x+cos x
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/07 13:24:49
求解微分方程y''+y=e^x+cos x
很容易证明,这个方程的解=齐次方程[y''+y=0]的通解+非齐次方程[y''+y=e^x]特解+非齐次方程[y''+y=cosx]的特解.
下面求通解,就直接根据公式了,具体可以看课本.
齐次方程的特征方程是λ²+1=0求出两个特征值i和-i,于是通解就是C[1]cosx+C[2]sinx.
然后y''+y=e^x很好猜,一看就是1/2 e^x是特解.
y''+y=cosx就麻烦了.有没有发现cosx里面x前面系数是1,恰好和一对共轭特征值±i碰一起了(也就是说通解里面也正好有cosx项).对于这种情况,惯用方法是设特解为x(Acosx+Bsinx)(前面多乘一个x,如果和特征值“撞车”的时候特征值重数不止一重,而是n重,还要乘x^n).然后带进方程[y''+y=cosx],计算吧,计算量也不大但是容易出错,细心点就能算出,结果是A=0,B=1/2
于是最终的通解y=C[1]cosx+C[2]sinx+1/2 e^x+1/2 xsinx(C[1]、C[2]为两个任意常数)
下面求通解,就直接根据公式了,具体可以看课本.
齐次方程的特征方程是λ²+1=0求出两个特征值i和-i,于是通解就是C[1]cosx+C[2]sinx.
然后y''+y=e^x很好猜,一看就是1/2 e^x是特解.
y''+y=cosx就麻烦了.有没有发现cosx里面x前面系数是1,恰好和一对共轭特征值±i碰一起了(也就是说通解里面也正好有cosx项).对于这种情况,惯用方法是设特解为x(Acosx+Bsinx)(前面多乘一个x,如果和特征值“撞车”的时候特征值重数不止一重,而是n重,还要乘x^n).然后带进方程[y''+y=cosx],计算吧,计算量也不大但是容易出错,细心点就能算出,结果是A=0,B=1/2
于是最终的通解y=C[1]cosx+C[2]sinx+1/2 e^x+1/2 xsinx(C[1]、C[2]为两个任意常数)
高数中微分方程求解求微分方程y'cos^2x+y-tanx=0的通解
求解微分方程.∫(dy/dx)=e^(x+y)
常微分方程求解:dy/dx=e^(y/x)+y/x
求解微分方程dt/dx=x+y
求解微分方程:y e^x dx +(2y+e^x) dy = 0,求解!
y''(x)+y(x)=Sinx 微分方程求解
求解微分方程:x*(dy/dx)=y*(ln y/x)
微分方程dy/dx+3y=(x^5)*(e^(-3x))如何求解?
求解一道微分方程题y'*tany+1/x=e^x*cosy
求解微分方程 dy/dx-y=x*y^3
微分方程求解.y''=y'+x怎么解?
dy/dx=y/(x+y) 求解微分方程