一道线性映射问题已知 T：W -> X, H：W->Y 均为线性映射,并且有Ker(T) 包含于Ker(H), 求证存在

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/09/23 04:30:47

一道线性映射问题
已知 T：W -> X, H：W->Y 均为线性映射,并且有Ker(T) 包含于Ker(H), 求证存在线性映射 S：im(T) ->Y 使得 S◦T = H 希望有详细过程谢谢

对任意x ∈ im(T),存在w ∈ W使得x = Tw.
任取一个满足上述条件的w,令S(x) = Hw即可.
首先说明该映射S是良定义的,即与w的选取无关:
设w,w' ∈ im(T)使Tw = x = Tw',则T(w-w') = 0,即有w-w' ∈ ker(T).
而ker(T) ⊆ ker(H),故H(w-w') = 0,也即Hw = Hw'.
其次说明S是线性的:
对任意x,x' ∈ im(T),k,k' ∈ 数域.
设w,w' ∈ im(T)使x = Tw,x' = Tw',则有kx+k'x' = T(kw+k'w').
于是由S的定义有S(kx+k'x') = H(kw+k'w') = kHw+k'Hw' = kS(x)+k'S(x').
最后验证S◦T = H:
因为对任意w ∈ W,由S的定义有S(Tw) = Hw,也即S◦T(w) = H(w).
再问：与w选取无关这块不是很理解如果选的Tw 不等于 Tw' 怎么办
再答：所谓的与w选取无关是指与x的原像选取无关. 在S的定义中, 要求w必需为x的一个原像, 即有x = Tw. 因此对给定的x, 总有Tw = x = Tw'.

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