大师作文网例五第二问 不是变式
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/12 15:36:43
解题思路： 利用导数判断单调性，构造方程、构造函数，利用导数判断方程的解（或函数的零点）的情况。 不知道“标准答案”的结论是“存在”还是“不存在”， 我后面有详细的说明.
解题过程：
解：由 
， 得 
， ∴ 
， 求导得 
， 在
上，显然有 ＞0， 故 g(x)是增函数， 假设 g(x)在上存在某个保值区间，则有以下两种可能： ① 保值区间为有穷区间[a, b]，则 
， 即 方程
至少有两个不相等的实根
， 即 函数
至少有两个零点， ∵ 
， 易知，在上，也有 
， ∴ G(x)在上是增函数， 故 不可能有两个零点， ∴ 本情形无解； ② 保值区间为无穷区间[m, ＋∞)， 则 g(m)＝m， 由①已知，在上是增函数， 又∵ 
， 且当
时，G(x)
， ∴ 在上有唯一零点， 即 方程
有且只有唯一解， 设此解为m， ∴ g(x)存在唯一的保值区间 [m, ＋∞)．（其中，m是方程的大于1的根） 【说明】： （I）函数y＝g(x) 与y＝x在同一坐标系内的示意图如图所示： 
它们在(1, ＋∞)上有唯一交点，在此交点的右侧，g(x)是增函数， ∴ 保值区间为 [m, ＋∞)， （II）但是，这个“ m” ，我们用纯初等方法是求不出来的（方程的大于１的解是唯一存在的确定的一个值m，但是“我们”却求不了它），也就是说，题目所要求的“求出一个保值区间”是我们的能力所达不到的（尽管它是唯一存在的），故此，我猜测可能命题人给的答案可能是下面的（III）； （III）命题人有可能给出的是他认为的如下的“标准答案”： 【 假设 g(x)在上存在某个保值区间 [a, b]， 则 ， 即 方程至少有两个不相等的实根， 即 函数至少有两个零点， ∵ ， 易知，在上，也有 ， ∴ G(x)在上是增函数， 故 不可能有两个零点， ∴ g(x)在 (1, ＋∞) 上不存在保值区间． 】 你手头由“标准答案”的话，如果真是这样的，那只能说明命题人弄错了，——因为题目中定义的保值区间并没有排除 [m, ＋∞)这种形式，——除非原题的定义中直接定义保值区间为 “闭区间” ．
解题过程：
解：由 ， 得 ， ∴ ， 求导得 ， 在上，显然有 ＞0， 故 g(x)是增函数， 假设 g(x)在上存在某个保值区间，则有以下两种可能： ① 保值区间为有穷区间[a, b]，则 ， 即 方程至少有两个不相等的实根， 即 函数至少有两个零点， ∵ ， 易知，在上，也有 ， ∴ G(x)在上是增函数， 故 不可能有两个零点， ∴ 本情形无解； ② 保值区间为无穷区间[m, ＋∞)， 则 g(m)＝m， 由①已知，在上是增函数， 又∵ ， 且当时，G(x)， ∴ 在上有唯一零点， 即 方程有且只有唯一解， 设此解为m， ∴ g(x)存在唯一的保值区间 [m, ＋∞)．（其中，m是方程的大于1的根） 【说明】： （I）函数y＝g(x) 与y＝x在同一坐标系内的示意图如图所示： 它们在(1, ＋∞)上有唯一交点，在此交点的右侧，g(x)是增函数， ∴ 保值区间为 [m, ＋∞)， （II）但是，这个“ m” ，我们用纯初等方法是求不出来的（方程的大于１的解是唯一存在的确定的一个值m，但是“我们”却求不了它），也就是说，题目所要求的“求出一个保值区间”是我们的能力所达不到的（尽管它是唯一存在的），故此，我猜测可能命题人给的答案可能是下面的（III）； （III）命题人有可能给出的是他认为的如下的“标准答案”： 【 假设 g(x)在上存在某个保值区间 [a, b]， 则 ， 即 方程至少有两个不相等的实根， 即 函数至少有两个零点， ∵ ， 易知，在上，也有 ， ∴ G(x)在上是增函数， 故 不可能有两个零点， ∴ g(x)在 (1, ＋∞) 上不存在保值区间． 】 你手头由“标准答案”的话，如果真是这样的，那只能说明命题人弄错了，——因为题目中定义的保值区间并没有排除 [m, ＋∞)这种形式，——除非原题的定义中直接定义保值区间为 “闭区间” ．