克莱姆法则内容

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克莱姆法则（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理.它适用于变量和方程数目相等的线性方程组,是瑞士数学家克莱姆（1704-1752）于1750年,在他的《线性代数分析导言》中发表的.
基本介绍
　　假若有n个未知数,n个方程组成的方程组：克莱姆法则(9张)
　　a11X1+a12X2+．．．+a1nXn = b1,
　　a21X1+a22X2+．．．+a2nXn = b2,
　　．．．．．．
　　an1X1+an2X2+．．．+annXn = bn.
　　或者写成矩阵形式为Ax=b,其中A为n*n方阵,x为n个变量构成列向量,b为n个常数项构成列向量.
　　而当它的系数矩阵可逆,或者说对应的行列式|A|不等于0的时候,它有唯一解xi=|Ai|/|A|,其中Ai〔i = 1,2,……,n〕是矩阵A中第i列的a 1i,a 2i,……a ni （即第i列）依次换成b1,b2,……bn所得的矩阵.
　　克莱姆法则不仅仅适用于实数域,它在任何域上面都可以成立.
　　使用克莱姆法则求线性方程组的解的算法时间复杂度可以达到O(n^3）,这个时间复杂度同其它常用的线性方程组求解方法,比如高斯消元法相当.
　　当b1,b2,...,bn不全为0时,方程组为非齐次性方程组.
　　系数矩阵A非奇异时,或者说行列式|A|≠0时,方程组有唯一的解；
　　系数矩阵A奇异时,或者说行列式|A|=0时,方程组有无数个解.
　　当b1=b2=...=bn=0时,方程组为齐次性方程组.
　　若系数矩阵A非奇异时,则方程组有唯一的解,其所有分量均为0,我们通常称这个解为平凡解.
　　若齐次线性方程组有非零解,系数矩阵必然奇异,或者说对应的系数行列式必为0.
　　其实莱布尼兹〔1693〕,以及马克劳林〔1748〕亦知道这个法则,但他们的记法不如克莱姆.
法则总结
　　1：克莱姆法则的重要理论价值：研究了方程组的系数与方程组解的存在性与唯一性关系;
　　2：应用克莱姆法则判断具有N个方程、N个未知数的线性方程组的解:
　　（1）：当方程组的系数行列式不等于零时,则方程组有解,且具有唯一的解；
　　（2）：如果方程组无解或者有两个不同的解,那么方程组的系数行列式必定等于零；
　　3：克莱姆法则的局限性：
　　（1）：当方程组的方程个数与未知数的个数不一致时,或者当方程组系数的行列式等于零时,克莱姆法则失
　　效.
　　（2）：运算量较大,求解一个N阶线性方程组要计算N+1个N阶行列式.
技术应用
　　克莱姆法则在解决微分几何方面十分有用.
　　先考虑两条等式和.因为u和v都是没相关的变数,我们可定义和.
　　找出一条等式适合是克莱姆法则的简单应用.
　　首先,我们要计算F、G、x和y的导数：
　　将dx和dy代入dF和dG,可得出：
　　因为u和v都没有关系,所以du和dv的系数都要等于0.所以等式中的系数可以被写成：
　　现在用克莱姆法则就可得到：
　　用两个雅可比矩阵来表示的方程：
　　用类似的方法就可以找到、以及.
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