大师作文网∫x^2/(（a^2-x^2）^3/2)dx
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/13 20:13:02
∫x^2/(（a^2-x^2）^3/2)dx
令x=a*sinθ,
那么a²-x²=a²cos²θ
所以
∫x²/ (a²-x²)^3/2 dx
=∫a²sin²θ/(acosθ)^3 d(a*sinθ)
=∫ sin²θ/cos²θ dθ
=∫ tan²θ dθ
=∫ 1/cos²θ -1 dθ
= tanθ - θ +C,C为常数
而tanθ= x/ √(a²-x²),θ=arcsin(x/a)
于是
原积分
= x/√(a²-x²) - arcsin(x/a) +C,C为常数
再问： 可是课本上-x/√(a²-x²) - arcsin(x/a) +C，C为常数，
再答： 课本的答案应该是不对的吧，你求导一次就知道了，就差一个负号
那么a²-x²=a²cos²θ
所以
∫x²/ (a²-x²)^3/2 dx
=∫a²sin²θ/(acosθ)^3 d(a*sinθ)
=∫ sin²θ/cos²θ dθ
=∫ tan²θ dθ
=∫ 1/cos²θ -1 dθ
= tanθ - θ +C,C为常数
而tanθ= x/ √(a²-x²),θ=arcsin(x/a)
于是
原积分
= x/√(a²-x²) - arcsin(x/a) +C,C为常数
再问： 可是课本上-x/√(a²-x²) - arcsin(x/a) +C，C为常数，
再答： 课本的答案应该是不对的吧，你求导一次就知道了，就差一个负号