复变函数问题一道为什么可以这样相等,如果C和|z|=1相交呢?
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/25 15:24:33
复变函数问题一道
为什么可以这样相等,如果C和|z|=1相交呢?
为什么可以这样相等,如果C和|z|=1相交呢?
我感觉你问得有道理,不过这个等式确实是成立的.
当n为非负整数时,积分函数在整个复平面上是解析函数,在任何一个闭曲线内积分均为0.
当n为负整数时,积分函数只有一个奇点z=0,因此当C内含有z=0时,等式左右两端相等,其值均=2πi×Res(z^n,0)
再问: 我感觉可能因为既然该函数只有z=0不解析,那么可以画无限个以z=0为原点的圆环C,总是可以包围|z|=1的,根据柯西定理推论,就弄出来图片中那个式子了。
再答: 我没明白你的追问是什么意思。你所说的无限个以z=0为圆心的圆环C,原题中的C不一定满足这个条件。
如果曲线C包含了圆环|z|=1,那么根据柯西定理,可以直接推导出等式成立。
如果曲线C不包含圆环|z|=1(也就是C与圆环相交,如你原问题所问的那样),那么等式虽然也成立,但是其推导不能直接由柯西定理得出。
也就是本题虽然结论是正确的,但推导过程有疏漏。
再问: 在全平面内解析,那么任意闭合曲线都解析,我的意思是每一个闭合曲线,都可以找到一个|Z|=∞的圆环包含该曲线,也包含|z|=1,这样就相等了,我感觉题目推导可能是这个意思。
再答: 不用客气,谢谢采纳!
当n为非负整数时,积分函数在整个复平面上是解析函数,在任何一个闭曲线内积分均为0.
当n为负整数时,积分函数只有一个奇点z=0,因此当C内含有z=0时,等式左右两端相等,其值均=2πi×Res(z^n,0)
再问: 我感觉可能因为既然该函数只有z=0不解析,那么可以画无限个以z=0为原点的圆环C,总是可以包围|z|=1的,根据柯西定理推论,就弄出来图片中那个式子了。
再答: 我没明白你的追问是什么意思。你所说的无限个以z=0为圆心的圆环C,原题中的C不一定满足这个条件。
如果曲线C包含了圆环|z|=1,那么根据柯西定理,可以直接推导出等式成立。
如果曲线C不包含圆环|z|=1(也就是C与圆环相交,如你原问题所问的那样),那么等式虽然也成立,但是其推导不能直接由柯西定理得出。
也就是本题虽然结论是正确的,但推导过程有疏漏。
再问: 在全平面内解析,那么任意闭合曲线都解析,我的意思是每一个闭合曲线,都可以找到一个|Z|=∞的圆环包含该曲线,也包含|z|=1,这样就相等了,我感觉题目推导可能是这个意思。
再答: 不用客气,谢谢采纳!
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