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设函数f(x)=(1+x) 2 -2ln(1+x)。

来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/16 03:48:22
设函数f(x)=(1+x) 2 -2ln(1+x)。
（Ⅰ）求f(x)的单调区间；
（Ⅱ）当0＜a＜2时，求函数g(x)=f(x)-x 2 -ax-1在区间[0，3]上的最小值．
设函数f(x)=(1+x) 2 -2ln(1+x)。
（Ⅰ）定义域为(-1，+∞)，
，
令 ，则 ，所以，x＜-2或x＞0； 
因为定义域为(-1，+∞)，所以x＞0；
令 ，则 ，所以 ，
因为定义域为(-1，+∞)，所以-1＜x＜0；
所以，函数的单调递增区间为(0，+∞)，单调递减区间为(-1，0)。
（Ⅱ） （x＞-1），
，
因为0＜a＜2，所以，2-a＞0， ，
令 ，可得 ，
所以函数g（x）在 上为减函数，在 上为增函数；
①当 ，即 时， 在区间[0，3]上，
g（x）在 上为减函数，在 上为增函数，
所以， ，
②当 ，即 时，g（x）在区间(0，3)上为减函数，
所以， ；
综上所述，当 时， ； 当 时， 。
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