如何判断出n^4+n^3-12n^2-14n-16=0无解?

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：综合作业时间：2024/11/12 17:22:33

因为
n=0时,n^4+n^3-12n^2-14n-16＜0；
n=10 时,n^4+n^3-12n^2-14n-16＞0 ,
所以原方程有实数解.
题意应该是无自然数解!
将方程两边除以 n² 整理得
n²+n-(14n+16)/n²=12………………①
因为n²+n、12均为自然数,故(14n+16)/n²为自然数,
所以,14n+16 ≥ n²
解得 7-√65≤n≤7+√65
所以,n可以取1~15的自然数,
考虑到 14n+16为偶数,所以n也只能是偶数,
检验得 n=2,10时,(14n+16)/n²分别为自然数11、2,但均不满足①,
所以,原方程无自然数解.
再问：为什么14n 16为偶数，n就一定为偶数了？还有为什么后面只检验n=2，10，别的不需要检验吗？
再答：错错，我搞错了，应该检验n为奇数的情况！检验得 n=1时，(14n+16)/n²为自然数30，也不满足①. 检验后得到的结论：仅n=1、2、10时，(14n+16)/n²为自然数，其他都是分数. 所以，原方程无自然数解.
再问：我还是没搞懂。。为什么又应该检验n为奇数的情况呢？那2，10是怎么来的
再答：再简单一点：由n²+n-(14n+16)/n²=12………………① 得 (14n+16)/n²=n²+n-12...........................② ②左边＞0，则右边 n²+n-12＞0，即n(n+1)＞12,所以 n＞3..........③ ②右边为自然数，则左边 (14n+16)/n²也应该为自然数，所以，14n+16 ≥ n² 解得 7-√65≤n≤7+√65.......................④ 由③④知，n可以取4~15的自然数进行检验，分别将n=4,5,6，....，15代入(14n+16)/n²中，仅n=8时(14n+16)/n²=2为自然数，但将n=8代入①不成立，所以，原方程无自然数解. 前面晚上太晚，搞乱了，n=10是错误的！

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