大师作文网证明值为正常数
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/09/25 03:17:38
证明值为正常数
∵e^(sinx)*sinx在[0,2π]上连续,∴∫(0,2π)e^(sinx)*sinxdx可积
∫(0,2π)e^(sinx)*sinxdx=∫(0,π)e^(sinx)*sinxdx+∫(π,2π)e^(sinx)*sinxdx
令u=2π-x,则∫(π,2π)e^(sinx)*sinxdx=∫(π,0)e^(-sinu)*(-sinu)*(-1)du=-∫(0,π)e^(-sinu)*sinudu
=-∫(0,π)e^(-sinx)*sinxdx
所以∫(0,2π)e^(sinx)*sinxdx=∫(0,π)e^(sinx)*sinxdx-∫(0,π)e^(-sinx)*sinxdx
=∫(0,π)[e^(sinx)-e^(-sinx)]*sinxdx=∫(0,π)[e^(2*sinx)-1]/e^(sinx)*sinxdx
当x∈[0,π]时,都有e^(2*sinx)-1≥0,所以∫(0,2π)e^(sinx)*sinxdx为正常数
∫(0,2π)e^(sinx)*sinxdx=∫(0,π)e^(sinx)*sinxdx+∫(π,2π)e^(sinx)*sinxdx
令u=2π-x,则∫(π,2π)e^(sinx)*sinxdx=∫(π,0)e^(-sinu)*(-sinu)*(-1)du=-∫(0,π)e^(-sinu)*sinudu
=-∫(0,π)e^(-sinx)*sinxdx
所以∫(0,2π)e^(sinx)*sinxdx=∫(0,π)e^(sinx)*sinxdx-∫(0,π)e^(-sinx)*sinxdx
=∫(0,π)[e^(sinx)-e^(-sinx)]*sinxdx=∫(0,π)[e^(2*sinx)-1]/e^(sinx)*sinxdx
当x∈[0,π]时,都有e^(2*sinx)-1≥0,所以∫(0,2π)e^(sinx)*sinxdx为正常数