大师作文网判定该级数是否绝对收敛.
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/16 13:13:21
判定该级数是否绝对收敛.
该级数是条件收敛的.分两步证明：
1）由于数列 {1/n} 单调趋于0,且由
∑(1≤k≤n)sink
= [1/sin(1/2)]*∑(1≤k≤n)sinksin(1/2)
= ……
= [1/sin(1/2)]*[cos(1/2)-cos(n+1/2)],
可得
|∑(1≤k≤n)sink|
≤ 2/sin(1/2),
即级数∑sinn 的部分和有界,据 Dirihlet 判别法可知原级数收敛；
2）仿1）,易验级数 ∑cos2n/n 也收敛.若级数 ∑|sinn/n| 也收敛,则由
|sinn/n|≥ sin²n/n = 1/(2n)-cos2n/(2n),
有
1/(2n)≤ cos2n/(2n)+|sinn/n| ,
而级数
∑cos2n/(2n),∑|sinn/n|
均收敛,据比较判别法可知级数∑[1/(2n)] 也收敛,矛盾.这说明级数 ∑|sinn/n| 发散,即原级数非绝对收敛.
综上所述,原级数条件收敛.
注：该题的类似的题型教材上应该有的,翻翻书吧.
1）由于数列 {1/n} 单调趋于0,且由
∑(1≤k≤n)sink
= [1/sin(1/2)]*∑(1≤k≤n)sinksin(1/2)
= ……
= [1/sin(1/2)]*[cos(1/2)-cos(n+1/2)],
可得
|∑(1≤k≤n)sink|
≤ 2/sin(1/2),
即级数∑sinn 的部分和有界,据 Dirihlet 判别法可知原级数收敛；
2）仿1）,易验级数 ∑cos2n/n 也收敛.若级数 ∑|sinn/n| 也收敛,则由
|sinn/n|≥ sin²n/n = 1/(2n)-cos2n/(2n),
有
1/(2n)≤ cos2n/(2n)+|sinn/n| ,
而级数
∑cos2n/(2n),∑|sinn/n|
均收敛,据比较判别法可知级数∑[1/(2n)] 也收敛,矛盾.这说明级数 ∑|sinn/n| 发散,即原级数非绝对收敛.
综上所述,原级数条件收敛.
注：该题的类似的题型教材上应该有的,翻翻书吧.