作业帮 > 数学 > 作业

如图,⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点,割线CE、DF都过点B,并且AB2=BC*BD,∠ABC=

来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/18 20:54:59
如图,⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点,割线CE、DF都过点B,并且AB2=BC*BD,∠ABC=∠ABD.
求证:(1)AD是⊙O₁的切线,AC是⊙O₂的切线
(2)CE=DF
.
如图,⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点,割线CE、DF都过点B,并且AB2=BC*BD,∠ABC=
证明:连接AF、AE
(1)∵AB2=BC*BD,∠ABC=∠ABD
∴△ABC ∽ △DBA
∴ ∠BAD= ∠ACB=∠ABF
又∵ ∠ADF= ∠ADB
∴△ABD ∽ △FAD
∴∠ABD=∠DAF;AD^2=BD*DF
∴AD是⊙O₁的切线
同理可证:AC是⊙O₂的切线
(2)∵∠ABD=∠DAF,∠ABC=∠ABD
∴∠ABC=∠DAF
又∵ ∠FAC= ∠FBC,
∠ABC= ∠ABF+∠CBF
∠DAF= ∠CAD+∠CAF
∴∠FCA=∠ABF=∠CAD= ∠CFA
∴ AF=AC
又∵∠ACB=∠ABF,∠AEC= ∠ADF
∴△AFD ≌ △ACE
∴ CE=DF