大师作文网谁能给我解释一下什么叫做有限域?
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/19 08:03:17
谁能给我解释一下什么叫做有限域?
仅含有限多个元素的域.它首先由E.伽罗瓦所发现,因而又称为伽罗瓦域.它和有理数域、实数域比较,有着许多不同的性质.
简介
最简单的有限域是整数环Z 模一个素数p得到的余环Z/(p),由p个元素0,1,…,p-1组成,按模p相加和相乘.
J.H.M.韦德伯恩于1905年证明了“有限除环必是乘法交换的”.因此,有限除环就是现在所说的有限域.
条件
集合F={a,b,…},对F的元素定义了两种运算：“+”和“*”,并满足以下3个条件,
·F1：F的元素关于运算“+”构成交换群,设其单位元素为0.
·F2：F\{0}的元素关于运算“*”构成交换群.即F中元素排除元素0后,关于*法构成交换群.
·F3：分配率成立,即对于任意元素
a,b,c∈F,
恒有
a*(b+c)=(b+c)*a=a*b+a*c
p是素数时,可证F{0,1,2,…,p-1},在modp意义下,关于求和运算“+”,及乘积“*”,构成了域.F域的元素数目有限时称为有限域.
有限域的阶
有限域元素的数目称为有限域的阶.对于有限域,其元素的数目必然是素数的幂.而这个对应的素数成为有限域的特征.在编码和密码理论里面2^n阶有限域被广泛使用,具有非常重要的意义.
而另外,所有阶数相同的有限域是同构的.也就是说,从本质上讲,给定有限域的阶,有限域就唯一确定了.
费马小定理有限域推广
假设一个有限域的阶是q=p^n,那么对于有限域里面任意一个元素x,x^q=x,这个就是数论中费马小定理在有限域中的推广.
简介
最简单的有限域是整数环Z 模一个素数p得到的余环Z/(p),由p个元素0,1,…,p-1组成,按模p相加和相乘.
J.H.M.韦德伯恩于1905年证明了“有限除环必是乘法交换的”.因此,有限除环就是现在所说的有限域.
条件
集合F={a,b,…},对F的元素定义了两种运算：“+”和“*”,并满足以下3个条件,
·F1：F的元素关于运算“+”构成交换群,设其单位元素为0.
·F2：F\{0}的元素关于运算“*”构成交换群.即F中元素排除元素0后,关于*法构成交换群.
·F3：分配率成立,即对于任意元素
a,b,c∈F,
恒有
a*(b+c)=(b+c)*a=a*b+a*c
p是素数时,可证F{0,1,2,…,p-1},在modp意义下,关于求和运算“+”,及乘积“*”,构成了域.F域的元素数目有限时称为有限域.
有限域的阶
有限域元素的数目称为有限域的阶.对于有限域,其元素的数目必然是素数的幂.而这个对应的素数成为有限域的特征.在编码和密码理论里面2^n阶有限域被广泛使用,具有非常重要的意义.
而另外,所有阶数相同的有限域是同构的.也就是说,从本质上讲,给定有限域的阶,有限域就唯一确定了.
费马小定理有限域推广
假设一个有限域的阶是q=p^n,那么对于有限域里面任意一个元素x,x^q=x,这个就是数论中费马小定理在有限域中的推广.