大师作文网关于正四面体ABCD，有以下命题：
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/11/16 01:08:19
关于正四面体ABCD，有以下命题：
①正三棱锥都是正四面体；
②若E，F分别为△ABC，△BCD的中心，则EF∥AD；
③AB⊥CD；
④将等差数列的任意连续四项分别写在四面体的四个面上，则任一面上的数字都不可能等于另三个面上的数字之和；
⑤从正四面体的六条棱中任选两条，则它们互相垂直的概率为
①正三棱锥都是正四面体；
②若E，F分别为△ABC，△BCD的中心，则EF∥AD；
③AB⊥CD；
④将等差数列的任意连续四项分别写在四面体的四个面上，则任一面上的数字都不可能等于另三个面上的数字之和；
⑤从正四面体的六条棱中任选两条，则它们互相垂直的概率为
| 1 |
| 5 |
①正三棱锥的侧棱与底面棱长不一定相等，因此不一定是正四面体，不正确；
②若E，F分别为△ABC，△BCD的中心，如图1，取BC的中点，连接DM，AM，则
AE
EM＝
DF
FM＝
2
1，因此EF∥AD，正确；
③如图2，设O点为底面ABC的中心，则DO⊥底面ABC，∴DO⊥AB，延长CO交AB于点N，连接DN，则CN⊥AB，∴AB⊥平面CDN，
∴AB⊥CD；
④将等差数列{an}的任意连续四项分别写在四面体的四个面上，可得a1+a4=a2+a3，可得a1+a3+a4=a2+2a3，若任一面上的数字都不可能等于另三个面上的数字之和，则2a3=0，同理可得ai=0（i=1，2，3，4），因此可知：这个等差数列除非是每一项都为0，否则不成立；
⑤从正四面体的六条棱中任选两条，利用③的结论可得：则它们互相垂直的概率p=
3
C26=
1
5，正确．
综上可知：只有②③⑤正确．
故答案为：②③⑤．
②若E，F分别为△ABC，△BCD的中心，如图1，取BC的中点，连接DM，AM，则
AE
EM＝
DF
FM＝
2
1，因此EF∥AD，正确；
③如图2，设O点为底面ABC的中心，则DO⊥底面ABC，∴DO⊥AB，延长CO交AB于点N，连接DN，则CN⊥AB，∴AB⊥平面CDN，
∴AB⊥CD；
④将等差数列{an}的任意连续四项分别写在四面体的四个面上，可得a1+a4=a2+a3，可得a1+a3+a4=a2+2a3，若任一面上的数字都不可能等于另三个面上的数字之和，则2a3=0，同理可得ai=0（i=1，2，3，4），因此可知：这个等差数列除非是每一项都为0，否则不成立；
⑤从正四面体的六条棱中任选两条，利用③的结论可得：则它们互相垂直的概率p=
3
C26=
1
5，正确．
综上可知：只有②③⑤正确．
故答案为：②③⑤．
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