如图,已知抛物线Y=X^2+BX+C与一条直线交与A(-1,0)C(2,3)两点,与Y轴交于点N 其顶点为D

如图,已知抛物线Y=X^2+BX+C与一条直线交与A(-1,0)C(2,3)两点,与Y轴交于点N 其顶点为D
若P是该抛物线上位于直线AC上方一动点,求三角形APC最大面积（A在X负半轴,对称轴X=1）

问：  如图,已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A（-1,0）,C（2,3）两点,与y轴交于点N．其顶点为D（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3,m）,求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B,E为直线AC上的任意一点,过点E作EF∥BD交抛物线于点F,以B,D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求点E的坐标；若不能,请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC的面积的最大值． 分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式；（2）根据两点之间线段最短作N点关于直线x=3的对称点N′,当M（3,m）在直线DN′上时,MN+MD的值最小；（3）需要分类讨论：①当点E在线段AC上时,点F在点E上方,则F（x,x+3）和②当点E在线段AC（或CA）延长线上时,点F在点E下方,则F（x,x-1）,然后利用二次函数图象上点的坐标特征可以求得点E的坐标；（4）方法一：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；过点C作CG⊥x轴于点G,如图1．设Q（x,x+1）,则P（x,-x²+2x+3）．根据两点间的距离公式可以求得线段PQ=-x²+x+2；最后由图示以及三角形的面积公式知S△APC=-3/2（x-1/2）²+27/8,所以由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值；方法二：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q,交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G,如图2．设Q（x,x+1）,则P（x,-x²+2x+3）．根据图示以及三角形的面积公式知S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC-S△AGC=-3/2（x-1/2）²+27/8,所以由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值； （1）由抛物线y=-x²+bx+c过点A（-1,0）及C（2,3）得,-1-b+c=0-4+2b+c=3     解得,b=2,c=3      故抛物线为y=-x²+2x+3又设直线为y=kx+n过点A（-1,0）及C（2,3）得-k+n=02k+n=3      解得,k=1,n=1      故直线AC为y=x+1； 
  （2）如图1,作N点关于直线x=3的对称点N′,则N′（6,3）,由（1）得D（1,4）,故直线DN′的函数关系式为y=-1/5 x+21/5   ,
当M（3,m）在直线DN′上时,MN+MD的值最小,则m=-1/5 ×3+21/5=18/5 ；
  （3）由（1）、（2）得D（1,4）,B（1,2）,∵点E在直线AC上,设E（x,x+1）,①如图2,当点E在线段AC上时,点F在点E上方,则F（x,x+3）,∵F在抛物线上,∴x+3=-x²+2x+3,解得,x=0或x=1（舍去）∴E（0,1）；②当点E在线段AC（或CA）延长线上时,点F在点E下方,则F（x,x-1）由F在抛物线上∴x-1=-x²+2x+3解得x=（1-√17）/2   或x=（1+√17）/2 ∴E（（1-√17）/2,﹙3-√17﹚/2）或（﹙1+√17﹚/2 ,﹙3+√17﹚/2）综上,满足条件的点E的坐标为（0,1）、（﹙1-√17﹚/2,﹙3-√17﹚/2）或（（1+√17）/2, ﹙3+√17﹚/2）；  （4）方法一：如图3,过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q,交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G,设Q（x,x+1）,则P（x,-x²+2x+3）∴PQ=（-x2+2x+3）-（x+1）=-x²+x+2又∵S△APC=S△APQ+S△CPQ=1/2 PQ•AG=1/2（-x²+x+2）×3=-3/2（x-1/2）²+27/8   ∴面积的最大值为27/8．
方法二：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q,交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G,如图3,设Q（x,x+1）,则P（x,-x²+2x+3）又∵S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC-S△AGC=1/2（x+1）（-x²+2x+3）+1/2（-x²+2x+3+3）（2-x）-1/2×3×3=-3/2 x²+3/2 x+3=-3/2（x-1/2）²+27/8   ∴△APC的面积的最大值为27/8． 点评：本题考查了二次函数综合题．解答（3）题时,要对点E所在的位置进行分类讨论,以防漏解． 有疑问可以追问哦.、.、