关于黎曼几何:过直线外一点没有一条直线能与该直线平行

关于黎曼几何:过直线外一点没有一条直线能与该直线平行
比如地球上的赤道,老师说过赤道外一点一条平行线都做不出来,作出来的所有直线必定和赤道相交.请问纬线不是和赤道垂直吗…还是黎曼几何中纬线不算“直线”?请问该怎么解释?
不好意思,我是物理专业的,最近被相对论搞晕了,老师只是带过而已,没有详细讲……请各位数学帝尽量用通俗的解释让我明白就行了~

如果是在广义相对论中使用的黎曼几何, 其实应该是带有(伪)黎曼度量的流形上的几何学.
这个概念是非常宽泛的: 通常所说的欧式几何, 双曲几何都是其特例(曲率分别为0或负常数).
而球面几何是曲率为正常数的特例.
在黎曼几何中给定了黎曼度量, 就可以讨论"测地线", 大意是流形上连接两点的最短的曲线.
对欧式几何来说, 两点间直线段最短, 因此测地线就是直线.
对球面几何来说, 两点间的最短曲线是大圆的弧, 因此测地线是大圆(即所在平面过球心的圆).
所以在球面几何中, 纬线并不是"直线".
任意两个大圆都会相交于一对对径点, 因此不存在"平行线".
最后补充一点技术细节:
最早研究非欧几何是为了证明平行公理和其它公理的独立性.
人们建立满足其它公理而不满足平行公理的模型 (例如Poincare圆盘).
依据其中"平行公理"的形式分为双曲几何(至少有两条), 欧式几何(恰有一条)和椭圆几何(没有).
但球面几何其实不成立"两点决定一条直线", 所以球面几何其实并不是椭圆几何.
不过在进行某种技术处理之后可以使其成立, 但是有点抽象, 所以就不在这里写了.
再问： 谢谢大神！ 那么黎曼几何用地球作为模型严格来讲准不准确？黎曼几何中的测地线是指两点间的最长线还是最短线呀？黎曼几何研究的是负曲率空间吧？真的感觉好乱啊…… 还有请问关于黎曼几何的基础有什么好的教材推荐一下？ 我印象中以前在量子力学中有涉及这方面的内容，但是实在难以理解，所以就没认真学…太后悔了…
再答： 现在一般意义上的黎曼几何是非常宽泛的概念. 粗略的说, 黎曼几何就是在每个局部定义了距离的几何学, 球面几何当然是其特例. 所谓技术问题只是出现在要把球面几何作为椭圆几何模型的时候, 因为球面几何不止违反了平行公理, 但是这与其为黎曼几何没有关系. 按照个人粗浅的理解, 在广义相对论中之所以要使用(广义)黎曼几何, 就是为了刻画时空度量随物质分布的改变. 你们老师讲球面几何的例子, 大概是为了显示黎曼几何与欧式几何的不同, 并非要将其作为椭圆几何的模型来介绍. 黎曼几何中的测地线的每个"小段"都是连接两点的最短线. 这一点你可以参考欧式几何(其实也是黎曼几何的特例)中的直线. 当然直线不仅"小段"是最短的, 而且是其上任意两点间的最短线. 在球面几何中, 大圆的劣弧是最短线, 但是优弧不是, 所以要加上"小段"的限制. 稍微想像一下就可以知道, 一般情况下连接两点的最长线是不存在的. 黎曼几何对曲率没有限制. 像球面几何是常正曲率, 欧式几何是零曲率, Poincare圆盘是常负曲率. 此外还有各种曲率可变的空间, 可以既有正曲率的点又有负曲率的点. 如果是广义相对论课程的话, 应该会讲黎曼几何的基础吧. 数学教材当然有, 不过讲法有所不同, 而且需要先修微分几何, 微分流形等. 所以建议还是找广义相对论的教材来看.