大师作文网大一高数微分方程
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/10 13:30:47
大一高数微分方程
第2题：
令y＝u（x－2）,则：dy/dx＝（x－2）du/dx＋u.
∴原微分方程可变成：（x－2）［（x－2）du/dx＋u］＝u（x－2）＋2（x－2）^3,
∴［（x－2）^2］du/dx＋u（x－2）＝u（x－2）＋2（x－2）^3,
∴［（x－2）^2］du/dx＝2（x－2）^3,
∴du/dx＝2（x－2）,
∴u＝2∫（x－2）dx＝2∫（x－2）d（x－2）＝（x－2）^2＋C,
∴u（x－2）＝（x－2）^3＋C（x－2）,
∴y＝（x－2）^3＋C（x－2）.
∴原微分方程的通解为：y＝（x－2）^3＋C（x－2）,其中C为任意常数.
第3题：
令x/y＝u,则：x＝yu,∴dx＝udy＋ydu.
∴原微分方程可变成：（1＋2e^u）（udy＋ydu）＋2e^u·（1－u）dy＝0,
∴（1＋2e^u）udy＋（1＋2e^u）ydu＋2e^udy－2ue^udy＝0,
∴udy＋2e^udy＋（1＋2e^u）ydu＝0,
∴（1/y）dy＝－［（1＋2e^u）/（u＋2e^u）］du,
∴∫（1/y）dy＝－∫［（1＋2e^u）/（u＋2e^u）］du,
∴lny＝－∫［（1＋2e^u）/（u＋2e^u）］du＝－∫［1/（u＋2e^u）］d（u＋2e^u）,
∴lny＝－ln（u＋2e^u）＋C,
∴ln［（u＋2e^u）y］＝C,
∴（u＋2e^u）y＝C,
∴［x/y＋2e^（x/y）］（x/y）＝C.
∴原微分方程的通解是：［x/y＋2e^（x/y）］（x/y）＝C,其中C的任意常数.
令y＝u（x－2）,则：dy/dx＝（x－2）du/dx＋u.
∴原微分方程可变成：（x－2）［（x－2）du/dx＋u］＝u（x－2）＋2（x－2）^3,
∴［（x－2）^2］du/dx＋u（x－2）＝u（x－2）＋2（x－2）^3,
∴［（x－2）^2］du/dx＝2（x－2）^3,
∴du/dx＝2（x－2）,
∴u＝2∫（x－2）dx＝2∫（x－2）d（x－2）＝（x－2）^2＋C,
∴u（x－2）＝（x－2）^3＋C（x－2）,
∴y＝（x－2）^3＋C（x－2）.
∴原微分方程的通解为：y＝（x－2）^3＋C（x－2）,其中C为任意常数.
第3题：
令x/y＝u,则：x＝yu,∴dx＝udy＋ydu.
∴原微分方程可变成：（1＋2e^u）（udy＋ydu）＋2e^u·（1－u）dy＝0,
∴（1＋2e^u）udy＋（1＋2e^u）ydu＋2e^udy－2ue^udy＝0,
∴udy＋2e^udy＋（1＋2e^u）ydu＝0,
∴（1/y）dy＝－［（1＋2e^u）/（u＋2e^u）］du,
∴∫（1/y）dy＝－∫［（1＋2e^u）/（u＋2e^u）］du,
∴lny＝－∫［（1＋2e^u）/（u＋2e^u）］du＝－∫［1/（u＋2e^u）］d（u＋2e^u）,
∴lny＝－ln（u＋2e^u）＋C,
∴ln［（u＋2e^u）y］＝C,
∴（u＋2e^u）y＝C,
∴［x/y＋2e^（x/y）］（x/y）＝C.
∴原微分方程的通解是：［x/y＋2e^（x/y）］（x/y）＝C,其中C的任意常数.