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平面几何:有圆O外一点A做切线AB,AC交圆于B和C,过A做圆O的割线交圆O于D和F,交BC于E.试证:AF×DE=AD

来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/12 00:08:44
平面几何:有圆O外一点A做切线AB,AC交圆于B和C,过A做圆O的割线交圆O于D和F,交BC于E.试证:AF×DE=AD×EF
此题自初中以来近20年,都没能搞好.上班以后用CAD画图,测量计算,命题应该正确.
平面几何:有圆O外一点A做切线AB,AC交圆于B和C,过A做圆O的割线交圆O于D和F,交BC于E.试证:AF×DE=AD
昨天看到这个题目了,一时没想到,做梦的时候解出来了
证明如下
以AF上的线段为底,所有三角形同高:△ABF,△DBE,△ABD,△EDF
所以需要证明S△ABF*△DBE=△ABD*△EDF
设定∠FBE=x,∠DBE=y,∠ABD=z
用正弦定理转换就变成证明
sin(x+y+z)*siny=sinx*sinz
sin(x+y+z)=sin∠FCB
再次使用正弦定理
就变成证明
BD*CF=CD*BF
再次转换变成
需要证明BD/BF=CD/CF
用弦切角转换等角,得到相似三角形
然后就有
BD/BF=AD/AB
CD/CF=AC/AF
用切割线定理就有
AB*AC=AD*AF
AD/AB=AC/AF
所以BD/BF=CD/CF得证
所以AF×DE=AD×EF