数学问题:已知直线l1为曲线y=x^2+x-2在点(1,0)入的切线

数学问题:已知直线l1为曲线y=x^2+x-2在点(1,0)入的切线
1,已知直线l1为曲线y=x^2+x-2在点(1,0)入的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2
(1)求直线l2的方程
答案:-1x/3-(22/9)
(2)求直线l1,l2和x轴所围成的三角形的面积
答案:125/12
2,设b≥0,且抛物线C1:y=x^2+bx-a^2和抛物线C2:y=-x^2+ax+(b√2/4)在它们的一个交点处的切线互相垂直
(1)求点P(a,b)的抛物线方程f(a,b)=0
答案:f(a,b)=2a^2+(b√2/2)-ab-1

(2)若点Q(m,n)在由曲线x=0,y=0和f(x,y)=0围成的封闭区域内(包括边界)运动,求3m+n的取值范围
答案:[0,7√2/2]
3,半径为5的半球内接一个底面长为宽的2倍的长方体(底面与半球的底面重合),求长方体的体积的最大值
答案:400√3/27

4,过曲线y=1-x^2(x>0)上的点P作该曲线的切线,与x轴,y轴分别交于点M,N,试确定P的坐标,使得△MON的面积最小
答案:(√3/3,2/3)
最好解析一下

1,已知直线l1为曲线y=x^2+x-2在点(1,0)入的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2
(1)求直线l2的方程
答案:-1x/3-(22/9)
y'=2x+1
点(1,0)处的切线斜率=3,而：l1⊥l2,
所以l2得斜率=-1/3
2x+1=-1/3
x=-2/3
对应的y=(-2/3)^2+(-2/3)-2=-20/9
l2过点（-2/3,-20/9)
所以：l2的方程：y+(20/9)=(-1/3)(x+(2/3))
y=-(1/3)x-(22/9)
(2)求直线l1,l2和x轴所围成的三角形的面积
答案:125/12
l1的方程：y=3x-3
与y=-(1/3)x-(22/9)联立,
得：x=1/6,y=-5/2
而：l2与x轴的交点（-22/3,0)
面积=（1/2)(1-(-22/3))*(5/2)=125/12
2,设b≥0,且抛物线C1:y=x^2+bx-a^2和抛物线C2:y=-x^2+ax+(b√2/4)在它们的一个交点处的切线互相垂直
(1)求点P(a,b)的抛物线方程f(a,b)=0
答案:f(a,b)=2a^2+(b√2/2)-ab-1
抛物线C1:
y'=2x+b
抛物线C2:
y'=-2x+a
(2x+b)(-2x+a)=-1
4x^2-2(a-b)x-ab-1=0 -----------(1)
而：x^2+bx-a^2= -x^2+ax+(b√2/4)
4x^2-2(a-b)x-(2a^2+(b√2/2))=0 --------(2)
(1)-(2)得：
2a^2+ (b√2/2)-ab-1=0
f(a,b)=2a^2+ (b√2/2)-ab-1
(2)若点Q(m,n)在由曲线x=0,y=0和f(x,y)=0围成的封闭区域内(包括边界)运动,求3m+n的取值范围
答案:[0,7√2/2]
f(x,y)=2x^2+ (y√2/2)-xy-1=0
√2(2x^2-1)-y((√2)x-1)=0
((√2)x-1)(2x+√2-y)=0
所以,f(x,y)=0化为两条直线：
(√2)x-1=0,这条与y=0交于(√2/2,0)
2x+√2-y=0,这条与x=0交于(0,√2)
这两条直线的交点为(√2/2,2√2)
现在要求3m+n的取值范围
可以作斜率为-3的直线,
从图上可知：
在点(√2/2,2√2),3m+n为最大,3m+n最大=(3/2)√2 + 2√2=7√2/2
在点(0,0),3m+n为最小,3m+n最小=0
所以：3m+n的取值范围为：[0,7√2/2]
3,半径为5的半球内接一个底面长为宽的2倍的长方体(底面与半球的底面重合),求长方体的体积的最大值
答案:400√3/27
设长方体：x,2x,H
则：H^2+x^2+(x/2)^2=R^2
H^2=R^2-(5/4)x^2
(体积)^2=V^2=(x*2x*H)^2=4x^4*H^2=4x^4(R^2-(5/4)x^2)
=4*(64/25)*(5/8)x^2*(5/8)x^2*(R^2-(5/4)x^2)
而：(5/8)x^2+(5/8)x^2+(R^2-(5/4)x^2=R^2=定值
当：(5/8)x^2=（R^2-(5/4)x^2)=R^2/3
V^2最大=4*（64/25)*R^6/27
V最大=2*(8/5)R^3/√27=400(√3)/9
不知为何与你的答案不同
此时：(5/8)x^2=R^2/3
x=√(40/3),2x=2*√(40/3),
H^2=R^2/3,H=5/√3
V=x*(2x)*H=2*(40/3)*5/√3
=400(√3)/9
就这样倒算回来也没有问题,
请你再看看你的答案
4,过曲线y=1-x^2(x>0)上的点P作该曲线的切线,与x轴,y轴分别交于点M,N,试确定P的坐标,使得△MON的面积最小
答案:(√3/3,2/3)
y'=-2x
设P点坐标(t,1-t^2)
则：MN的方程：y-(1-t^2)=-2t*(x-t)=-2tx+t^2+1
M点坐标((t^2+1)/(2t),0),N点坐标(0,t^2+1)
△MON的面积=S=(1/2)((t^2+1)/(2t))*(t^2+1)
=(1/4)*(t^2+1)^2*(1/t)
当S'=0时,S有最值 (可以证明为最小值）
S'=(1/4)*2(t^2+1)*(2t)/t -(1/4)(t^2+1)^2/t^2
=(1/4)(t^2+1)(3t^2-1)/t^2=0
3t^2-1=0
t=√3/3 (题目的条件是t>0)
此时,1-t^2=2/3
P点坐标(√3/3,2/3)