高一数字.已知a∈R,函数f(x)=x|x-a|
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/10 17:29:40
高一数字.已知a∈R,函数f(x)=x|x-a|
求函数y=f(x)在区间[1,2]上的最小值.学渣想问问数学霸们,为何a>2时要考虑3的情况.´▽`
设a≠0,函数f(x)在f(m,n)上既有最大值又有最小值,请分别求出m,n的取值范围T^T不懂啊求详解亲爱的数学霸们!
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(1)
将f(x)化为分段函数:
f(x)=x^2-ax,x≥a(开口向上,对称轴x=a/2)
f(x)=-x^2+ax,x<a(开口向下,对称轴x=a/2)
注意到f(a)=0(即x=a为f(x)的一个零点)
当a≤0时,f(x)在区间[1,2]上为增函数
此时f(x)min=f(1)=1-a
当a>0时,f(x)在区间[1,2]上的最小值与对称轴x=a/2、零点x=a的位置相关,讨论如下:
若0<a≤1(对称轴x=a/2、零点x=a都在区间[1,2]的左侧),f(x)在区间[1,2]上为增函数
此时f(x)min=f(1)=1-a
若1<a≤2(对称轴x=a/2在区间左侧、零点x=a在区间上),f(x)在区间[1,2]上不单调
此时f(x)min=f(a)=0
若2<a≤4(对称轴x=a/2在区间上、零点x=a在区间右侧),f(x)在区间[1,2]上不单调
此时f(x)min=min{f(1),f(2)}=min{a-1,2a-4}
令a-1=2a-4,则a=3
则当2<a≤3时,f(x)min=2a-4
而当3<a≤4时,f(x)min=a-1
若a>4(对称轴x=a/2、零点x=a都在区间右侧),f(x)在区间[1,2]上为增函数
此时f(x)min=f(1)=a-1
综上知:
当a≤1时,f(x)min=1-a
当1<a≤2时,f(x)min=0
当2<a≤3时,f(x)min=2a-4
当a>3时,f(x)min=a-1
(2)因定义区间(m,n)为开区间,端点取不到最值
要使f(x)在区间(m,n)上既有最大值又有最小值
则必须保证对称轴x=a/2和零点x=a同时在区间上
即有m<a/2<n,且m<a<n
若a<0时,m<a且n>a/2
若a>0时,m<a/2且n>a
将f(x)化为分段函数:
f(x)=x^2-ax,x≥a(开口向上,对称轴x=a/2)
f(x)=-x^2+ax,x<a(开口向下,对称轴x=a/2)
注意到f(a)=0(即x=a为f(x)的一个零点)
当a≤0时,f(x)在区间[1,2]上为增函数
此时f(x)min=f(1)=1-a
当a>0时,f(x)在区间[1,2]上的最小值与对称轴x=a/2、零点x=a的位置相关,讨论如下:
若0<a≤1(对称轴x=a/2、零点x=a都在区间[1,2]的左侧),f(x)在区间[1,2]上为增函数
此时f(x)min=f(1)=1-a
若1<a≤2(对称轴x=a/2在区间左侧、零点x=a在区间上),f(x)在区间[1,2]上不单调
此时f(x)min=f(a)=0
若2<a≤4(对称轴x=a/2在区间上、零点x=a在区间右侧),f(x)在区间[1,2]上不单调
此时f(x)min=min{f(1),f(2)}=min{a-1,2a-4}
令a-1=2a-4,则a=3
则当2<a≤3时,f(x)min=2a-4
而当3<a≤4时,f(x)min=a-1
若a>4(对称轴x=a/2、零点x=a都在区间右侧),f(x)在区间[1,2]上为增函数
此时f(x)min=f(1)=a-1
综上知:
当a≤1时,f(x)min=1-a
当1<a≤2时,f(x)min=0
当2<a≤3时,f(x)min=2a-4
当a>3时,f(x)min=a-1
(2)因定义区间(m,n)为开区间,端点取不到最值
要使f(x)在区间(m,n)上既有最大值又有最小值
则必须保证对称轴x=a/2和零点x=a同时在区间上
即有m<a/2<n,且m<a<n
若a<0时,m<a且n>a/2
若a>0时,m<a/2且n>a
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