大师作文网求解方向导数中的内法线方向问题.
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/11/12 07:27:20
求解方向导数中的内法线方向问题.
如图,红色字体中,内法线方向是怎么求出的,
如图,红色字体中,内法线方向是怎么求出的,
设封闭曲线的方程为 F(x,y) = 0
那么法向量可以为 n = {∂F/∂x, ∂F/∂y}
特别的,若曲线的方程为 y = y(x),即 y-y(x) = 0
那么法向量可以为 n = ±{-dy/dx, 1}
“+”表示法向量与y轴正向夹角不大于π/2,“-”则反之
当需要求封闭曲线内法线方向的时候就必须画图了
因为“+”并不是表示外,“-”也不表示内
根据图像才能较直观的看出内法线是朝上还是朝下
请见下图,图1里内法线是朝下的,所以取“-”（这个即题目里的情况）
而图2里内法线是朝上的,所以取“+”
再问： 特别的，若曲线的方程为 y = y(x)，即 y-y(x) = 0？ 曲线的方程不是为 F(x,y) = (x^2/a^2)+(y^2/b^2)-1=0?
再答： 前面的一堆话都是理论 现在就看看怎么用理论求解问题咯： 法一，用上述理论 闭曲线方程为：F(x,y) = (x²/a²)+(y²/b²)-1=0 （这个就不是所谓的特殊形式y=y(x)） 法向量可以为 n = {∂F/∂x, ∂F/∂y} = {2x/a²,2y/b²} 将点{a/√2,b/√2}带入：n = {√2/a,√2/b} 乘上一个系数 ab/√2 使结果好看一些，即n = {b,a} 法二，通过切线与法线垂直 切线的斜率为 k = -b/a 设法线的斜率为 k’ 那么 kk’ = -1 , 得出 k’ = a/b 那么法线的方向 n = {1,k’} = {1,a/b} 乘上一个系数 b 使结果好看一些，即 n = {b,a} (两个方法的最后一步仅仅是使结果好看一些) 现在求出的只是法线方向，是否要添加负号使它成为内法线就要画图 这时通过图形判断到底要不要加上一个负号 图画出来就是上图第一幅图的样子 再由点{a/√2,b/√2}在第一象限，内法线应该朝下左下方 即说明n的x,y分量都要小于零，而b,a都大于零，于是要添加一个负号，即n = {-b,-a} 此时就求得了最终结果 （实际上 n = k{-b,-a },k>0 的向量都可以作为你要求的内法线方向，只是{-b,-a}好看一些）
再问： 好的。
那么法向量可以为 n = {∂F/∂x, ∂F/∂y}
特别的,若曲线的方程为 y = y(x),即 y-y(x) = 0
那么法向量可以为 n = ±{-dy/dx, 1}
“+”表示法向量与y轴正向夹角不大于π/2,“-”则反之
当需要求封闭曲线内法线方向的时候就必须画图了
因为“+”并不是表示外,“-”也不表示内
根据图像才能较直观的看出内法线是朝上还是朝下
请见下图,图1里内法线是朝下的,所以取“-”（这个即题目里的情况）
而图2里内法线是朝上的,所以取“+”
再问： 特别的，若曲线的方程为 y = y(x)，即 y-y(x) = 0？ 曲线的方程不是为 F(x,y) = (x^2/a^2)+(y^2/b^2)-1=0?
再答： 前面的一堆话都是理论 现在就看看怎么用理论求解问题咯： 法一，用上述理论 闭曲线方程为：F(x,y) = (x²/a²)+(y²/b²)-1=0 （这个就不是所谓的特殊形式y=y(x)） 法向量可以为 n = {∂F/∂x, ∂F/∂y} = {2x/a²,2y/b²} 将点{a/√2,b/√2}带入：n = {√2/a,√2/b} 乘上一个系数 ab/√2 使结果好看一些，即n = {b,a} 法二，通过切线与法线垂直 切线的斜率为 k = -b/a 设法线的斜率为 k’ 那么 kk’ = -1 , 得出 k’ = a/b 那么法线的方向 n = {1,k’} = {1,a/b} 乘上一个系数 b 使结果好看一些，即 n = {b,a} (两个方法的最后一步仅仅是使结果好看一些) 现在求出的只是法线方向，是否要添加负号使它成为内法线就要画图 这时通过图形判断到底要不要加上一个负号 图画出来就是上图第一幅图的样子 再由点{a/√2,b/√2}在第一象限，内法线应该朝下左下方 即说明n的x,y分量都要小于零，而b,a都大于零，于是要添加一个负号，即n = {-b,-a} 此时就求得了最终结果 （实际上 n = k{-b,-a },k>0 的向量都可以作为你要求的内法线方向，只是{-b,-a}好看一些）
再问： 好的。