过双曲线x^2-y^2=1的右焦点的弦AB过右焦点F,是否存在以AB为直径的圆过原点O,若存在,求出直线AB的斜率k

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/10 23:59:03

假设存在这样的圆.
由双曲线方程x^2－y^2＝1,得：c＝√（1＋1）＝√2,∴F的坐标是（√2,0）.
一、当AB不存在斜率时,AB的方程显然是x＝√2.
　　令x^2－y^2＝1中的x＝√2,得：y＝－1,或y＝1,
　　∴A、B两点的坐标是（√2,－1）、（√2,1）.
　　∴向量OA＝（√2,－1）、向量OB＝（√2,1）,∴向量OA·向量OB＝2－1＞0,
　　∴此时OA、OB不垂直,∴此时点O不在以AB为直径的圆上.
二、当AB存在斜率时,设斜率为k,则：AB的方程是y＝k（x－√2）.
　　联立：y＝k（x－√2）、x^2－y^2＝1,消去y,得：x^2－k^2（x－√2）^2＝1,
　　∴（1－k^2）x^2＋2√2k^2x－2k^2－1＝0.
　　∵A、B都在直线y＝k（x－√2）上,
　　∴可设A、B的坐标分别为（m,k（m－√2））、（n,k（n－√2））.
　　显然m、n是方程（1－k^2）x^2＋2√2k^2x－2k^2－1＝0的两根,
　　∴由韦达定理,有：m＋n＝2√2k^2/（k^2－1）、mn＝（2k^2＋1）/（k^2－1）.
　　很明显,此时,向量OA＝（m,k（m－√2））、向量OB＝（n,k（n－√2））,
　　∵O在以AB为直径的圆上,∴OA⊥OB,∴向量OA·向量OB＝0,
　　∴mn＋k^2（m－√2）（n－√2）＝0,
　　∴mn＋k^2mn－√2k^2（m＋n）＋2k^2＝0,
　　∴（1＋k^2）［（2k^2＋1）/（k^2－1）］－√2k^2［2√2k^2/（k^2－1）］＋2k^2＝0,
　　∴（1＋k^2）（2k^2＋1）－4k^4＋2k^2（k^2－1）＝0,
　　∴2k^2＋1＋2k^4＋k^2－4k^4＋2k^4－2k^2＝0,
　　∴1＋k^2＝0,这自然是不可能的,∴点O不可能在以AB为直径的圆上.
综上所述,得：不存在满足条件的圆.

过双曲线x^2-y^2=1的右焦点的弦AB过右焦点F,是否存在以AB为直径的圆过原点O,若存在,求出直线AB的斜率k 双曲线C x^2-y^2=2右支上的弦AB过右焦点F 是否存在以AB为直径的圆过原点O?若存在求出直线AB的斜率K的值过x^2-y^2=1右焦点的直线交双曲线于A,B,AB为圆的直径,求圆是否过原点,若过原点则斜率K为多少? 过双曲线x^2/3-y^2/6=1的右焦点F2,倾斜角为k的直线交双曲线于A,两点,O为坐标原点,F1为左焦点,求｜AB 椭圆的中心在原点,右焦点为(1,0),过右焦点的弦AB的斜率为1,若以AB为直径的圆经过椭圆的左焦点.求椭圆方程. 已知圆C：x2+y2-2x+4y-4=0，是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦长AB为直径的圆过原点，若存在求出已知圆C:x^2+y^2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线l,使以l被圆截得的弦AB为直径的圆过原点?若存在, 已知圆C:x^2+y^2-2*x+4*y-4=o,是否存在斜率为1的直线m,使以m被圆c截得的弦AB为直径的圆过原点? 已知圆C;x平方+y平方-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线m,使以m被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点?若存在过双曲线x^2/3-y^2/6=1的右焦点F倾斜角为30度的直线交双曲线于A,B两点求｜AB｜过双曲线x^2/9-y^2/16=1的右焦点F作倾角为45度的弦AB,求AB的长度及AB的中点M到右焦点F的距离过椭圆x^2/a^2+ y^2/b^2=1的右焦点F作直线交椭圆于A,B两点,求证以弦AB为直径的圆与与椭圆的右准线相离