求两平面之间的最短距离!

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/10 08:37:48

求两平面之间的最短距离!
用条件极值求：
求一个旋转抛物面z=x^2+y^2到平面x+y-z=1的最短距离!
注意用条件极值.

当抛物面z=x^2+y^2上某点G处的切平面和平面x+y-z=1平行时,二者间的距离最短,最短距离为切平面和平面x+y-z=1之间的距离,也即是G到平面x+y-z=1的距离.
抛物面z=x^2+y^2上G处的法向量为(2x,2y,-1),平面x+y-z=1的法向量为(1,1,-1),前述的两个平面平行,等价与这两个平面的法向量平行,即有：
2x/1=2y/1=-1/(-1),得x=1/2,y=1/2,进而得到z=x^2+y^2=1/2,
即得G坐标(1/2,1/2,1/2).
G到平面x+y-z=1的距离为：sqrt(3)/6.
上一步是套用公式：点（x0,y0,z0）,到直线AX+BY+CZ-D=0的距离为：
(A*x0+B*y0+C*z0-D)的绝对值除以根号下（A^2+B^2+C^2）,
前文中的sqrt表示开方
方法二：
设抛物面上一点G为(x,y,x^2+y^2),
G到平面x+y-z=1的距离为：
abs[x^2+y^2-x-y+1]/sqrt(3)
=[(x-1/2)^2+(y-1/2)^2+1/2]/sqrt(3)
大于等于（1/2）/sqrt(3)=sqrt(3)/6
其中等号成立条件为x=1/2,y=1/2,
abs表示绝对值,
将x,y,代回,可求得G坐标(1/2,1/2,1/2).
方法三：拉格朗日乘数法
设抛物面上一点A(x1,y1,z1)
平面上一点B(x2,y2,z2)
AB距离S的平方为：
F1=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2+(z1-z2)^2
构造函数：
F=F1+p*(x1^2+y1^2-z1)+q*(x2+y2-z2-1),（1）
同时注意到
x1^2+y1^2-z1=0（2）
x2+y2-z2-1=0（3）
（1）式分别对x1,y1,z1,x2,y2,z2求偏导,结果均为0,这样得到6个方程,再联立方程（2）（3）,就有8个方程,解8个未知数：x1,y1,z1,x2,y2,z2,p,q.即可.
说明：解你这道题,从高中到大学又重上了一遍,

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