大师作文网设S是由2n个人组成的集合．求证：其中必定有两个人，他们的公共朋友的个数为偶数．
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/11 06:09:28
设S是由2n个人组成的集合．求证：其中必定有两个人，他们的公共朋友的个数为偶数．
证明：假设每两人的公共朋友数均为奇数，则任一人的朋友数为偶数．
理由如下：
任取一人A，有朋友F1，F2，…，Fk，
用（AFi）表示A与Fi的公共朋友数，（AFi）为奇数．
∵每两个Fi之间增加一对朋友关系，AFi之和加2．
（比如，F1与F2是朋友，则AF1中会计算一次F2，AF2中会计算一次F1），
故
k
i＝1AFi一定是偶数，
则k一定是偶数．
同理Fi朋友数一定也是偶数，且包括A．
由于k是偶数，
∴Fi朋友数之和也是偶数．
A在Fi朋友数之和中出现了k次，
剩余2n-1人如在Fi朋友数之和均出现奇数次的话，
Fi朋友数之和应是奇数，
所以剩余2n-1人中至少有一人B在Fi朋友数之和中出现偶数次，
这意味着A与B在Fi朋友中共同好友为偶数个，
即AB为偶数．
理由如下：
任取一人A，有朋友F1，F2，…，Fk，
用（AFi）表示A与Fi的公共朋友数，（AFi）为奇数．
∵每两个Fi之间增加一对朋友关系，AFi之和加2．
（比如，F1与F2是朋友，则AF1中会计算一次F2，AF2中会计算一次F1），
故
k
i＝1AFi一定是偶数，
则k一定是偶数．
同理Fi朋友数一定也是偶数，且包括A．
由于k是偶数，
∴Fi朋友数之和也是偶数．
A在Fi朋友数之和中出现了k次，
剩余2n-1人如在Fi朋友数之和均出现奇数次的话，
Fi朋友数之和应是奇数，
所以剩余2n-1人中至少有一人B在Fi朋友数之和中出现偶数次，
这意味着A与B在Fi朋友中共同好友为偶数个，
即AB为偶数．
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