看图,求矩阵A的n次方.

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/18 16:08:38

看图,求矩阵A的n次方.

这个题吧,属于《矩阵论》的内容.
一般来说,A^n就是先对角化再求n次方.但是如果A不能对角化,《线性代数》就没办法了.《矩阵论》中有进一步的讨论,叫做“矩阵的Jondan标准型”.可以解决所有此类问题.
A=B+C,其中
B=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
C=
0 2 3
0 0 4
0 0 0
并且BC=CB,是可以乘法可交换的.因此A^n=(B+C)^n,可以用类似二项式定理的形式展开.
=B^n + nB^(n-1)C + ...
我们发现C的3次方以上都是零矩阵!
所以展开式中其实只有前面的3项而已.
B^n=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
nB^(n-1)C=
0 2n 3n
0 0 4n
0 0 0
[n(n-1)/2]*B^(n-2)C^2=
0 0 4n(n-1)
0 0 0
0 0 0
把这三项加起来就是最后结果了
1 2n 3n+4n(n-1)
0 1 4n
0 0 1

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