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来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/10 12:58:06
已知椭圆x2/4+y2/3=1,直线l过(0,1)交椭圆于A,B两点,求线段AB取值范围
（1）直线斜率不存在
即 x=0
与椭圆的交点是(0,±√3)
∴ |AB|=2√3
（2）直线斜率存在
设直线 y=kx+1
代入椭圆方程 3x²+4y²=12
∴ 3x²+4(kx+1)²=12
∴ (3+4k²)x²+8kx-8=0
∴ x1+x2=-8k/(3+4k²),x1*x2=-8/(3+4k²)
∴ (x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1x2=96(2k²+1)/(3+4k²)²
∴ |AB|=√(1+k²)*4√6*√(2k²+1)/(3+4k²)
=4√6 √(1+k²)√(2k²+1)/(3+4k²)
若k=0,则|AB|=4√6/3
若k≠0
|AB|=4√6 √(1+1/k²)√(2+1/k²)/(3/k²+4)
令t=1/k²
=4√6√[(1+t)*(2+t)]/(t+4)
∴ |AB|∈(4√6/3,2√3)
综上 ,|AB|∈【4√6/3,2√3】
即 x=0
与椭圆的交点是(0,±√3)
∴ |AB|=2√3
（2）直线斜率存在
设直线 y=kx+1
代入椭圆方程 3x²+4y²=12
∴ 3x²+4(kx+1)²=12
∴ (3+4k²)x²+8kx-8=0
∴ x1+x2=-8k/(3+4k²),x1*x2=-8/(3+4k²)
∴ (x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1x2=96(2k²+1)/(3+4k²)²
∴ |AB|=√(1+k²)*4√6*√(2k²+1)/(3+4k²)
=4√6 √(1+k²)√(2k²+1)/(3+4k²)
若k=0,则|AB|=4√6/3
若k≠0
|AB|=4√6 √(1+1/k²)√(2+1/k²)/(3/k²+4)
令t=1/k²
=4√6√[(1+t)*(2+t)]/(t+4)
∴ |AB|∈(4√6/3,2√3)
综上 ,|AB|∈【4√6/3,2√3】
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