大师作文网费马大定理证法
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/18 08:54:05
费马大定理证法
费马大定理的初等证明
（一）n=4时的证明
在x,y,z彼此互素,x为偶数时设方程
(1)
的解为(x,y,z).这里,正整数解简称为解,以下也是如此.
根据勾股定理,式（1）的解为
(2)
(3)
(4)[3]
这里,m>n>0,(m,n)=1,m为奇数,n为偶数.于是,在（2）有解的同时,式（3）也同时有解.设是式（3）所有最小解.
根据勾股定理,式（3）的解为
(5)
(6)
(7)
这里,a>b>0,(a,b)=1,ab为偶.由式（2）,（5）,（6）可有
(8)
因为 ,由式（8）可有
(9)
(10)
于是,从式（10）可以得出,(a,b,e)也是式（3）的解.由式（5）,（10）可有
[4]
这与假设是式（3）的最小解相矛盾.因此,在式（2）有解的同时,式（3）无解,进而式（1）无解.
（二）n=p的证明
在x,y,z彼此互素时,设方程
(1)
的解为(x,y,z).由式（1）可有,
(2)
因此,(x,y,z)也为式（2）的解.这里,p为奇素数.
根据勾股定理,由式（2）可知,z只能为奇数.于是,在x为偶数时式（2）的解为
(3)
(4)
(5)
这里m>n>0,(m,n)=1,mn为偶数,即为mn一奇一偶
由式（3）,（4）,（5）可知,x,y,z又只能都为平方数.设 ,则式（2）和式（1）为
(6)
（1）方程（6）可为
(7)
方程（7）的解为
(8)
(9)
(10)
这里,m>n>0,(m,n)=1,m为奇数,n为偶数； ;
(11)
(12)
(13)
其中, 式子中的各项是分别是把 式子中的各项颠倒过来写的,并且 (i=0,1,2,…,p-1,p).于是,在式（9）有解的同时,式（8）也同时有解.[5]
由式（24）,式（9）的解为
(14)
(15)
(16)
这里,a>b>0,(a,b)=1,ab为偶数.由式（8）,（15）可有
(17)
（2）方程（6）还可为
(18)
方程（18）的解为
(19)
(20)
(21)
这里u>v>0,(u,v)=1,uv为偶数.同时,式（20）的解为
(22)
(23)
(24)
这里, 和 的表达式分别与和相同.
由式（19）,（22）,（23）可有
(25)
这里,
( 3 ) 在a为偶数,b为奇数时,分别有
在p不整除ab时,从式（17）可知,p不整除g(m,n).因为(2ab,g(m,n))=1,由式（17）可有
(26)
(27)
(28)
因此,在式（26）有解的同时,式（27）也同时有解.设 是式（27）所有解的最小解.
从式（25）可知,p不整除f(a,b),这不整除g(a,b).因为 ,由式（25）可有
(29)
(30)
(31)
(32)
于是,从式（32）可以得知, 也是式（27）的解.由式（27）的解.由式（27）,（32）可有
(33)
在p不整除a,p整除b时,从式（17）可知,p整除 .因为 ,由式（17）可知,整除.因为,由式（17）可有
(34)
(35)
(36)
因此,在此（34）有解的同时,式（35）也同有解.设是式（35）所有解中的最小解.
从式（25）可知,p不整除f(a,b),p整除g(a,b).因为 ,由式（25）可有
(37)
(38)
(39)
(40)
于是,从式（40）可以得知, 也是式（35）的解.由式（35）,（40）可有
(41)
.在p整除a,p不整除b时,从式（17）可知,p整除g(n,m).因为 ,由式（17）可有
(42)
(43)
(44)
因此,在式（42）有解的同时,式（43）也同时有解.设 是式（43）所有解中的最小解.
从式中（25）可知,p整除f(a,b),p不整除g(a,b).因为,由式 （25）可有
(45)
(46)
(47)
(48)
于是,从式（46）可以得知, 也是式（43）.由式（43）,（46）可有
(49)
( 4 )在a为奇数,b为偶数,分别有
在p不整除ab时,从式（17）可知,p不整除g(m,n).因为 ,由式（17）可有
(50)
(51)
(52)
因此,在式（50）有解的同时,式（51）也同时有解.设 是式（51）所有解中的最小解.
从式（25）可知,p不整除f(a,b),p不整除g(a,b).因为 ,由式（25）可有
(53)
(54)
(55)
(56)
于是,从式（54）可以得知, 也是式（51）的解.由式（51）,（54）可有
(57)
在p整除a,p不除b时,从式（17）可知,p整除g(n,m).因为 ,由式（17）可有
(58)
(59)
(60)
因此,在式（58）有解的同时,式（59）也同时有解.设 是式（59）所有解中最小解.
从式（25）可知,p整除f(a,b),p不整除g(a,b).因为 ,由式（25）可有
(61)
(62)
(63)
(64)
于是,从式（64）可以得知, 也是式（59）的解.由式（59）,（64）可有
(65)
在p不整除a,p整除b时,从式（17）可知,p整除g(m,n).因为 ,由式（17）可有
(66)
(67)
(68)
因此,在式（66）有解的同时,式（67）也同时有解. 设 是式（67）所有解中的最小解.
从式（25）可知,p不整除f(a,b),p整除g(a,b).因为 ,由式（25）可有
(69)
(70)
(71)
(72)
于是,从式（70）可以得知, 也是式（67）的解.由式（67）,（70）可有
(73)
（5）根据式（33）,（41）,（49）,（57）,（65）,（73）的结论,这与假设 分别是一个最小解相矛盾.因此,在此（26）,（34）,（42）,（50）,（58）,（66）分别有解的同时,式（27）,（35）,（43）,（51）,（59）,（67）分别无解.于是,在式（9）有解的同地,式（8）无解,进而式（6）无解,式（1）无解.根据以上的证明,费马大定理成立. [6]
（一）n=4时的证明
在x,y,z彼此互素,x为偶数时设方程
(1)
的解为(x,y,z).这里,正整数解简称为解,以下也是如此.
根据勾股定理,式（1）的解为
(2)
(3)
(4)[3]
这里,m>n>0,(m,n)=1,m为奇数,n为偶数.于是,在（2）有解的同时,式（3）也同时有解.设是式（3）所有最小解.
根据勾股定理,式（3）的解为
(5)
(6)
(7)
这里,a>b>0,(a,b)=1,ab为偶.由式（2）,（5）,（6）可有
(8)
因为 ,由式（8）可有
(9)
(10)
于是,从式（10）可以得出,(a,b,e)也是式（3）的解.由式（5）,（10）可有
[4]
这与假设是式（3）的最小解相矛盾.因此,在式（2）有解的同时,式（3）无解,进而式（1）无解.
（二）n=p的证明
在x,y,z彼此互素时,设方程
(1)
的解为(x,y,z).由式（1）可有,
(2)
因此,(x,y,z)也为式（2）的解.这里,p为奇素数.
根据勾股定理,由式（2）可知,z只能为奇数.于是,在x为偶数时式（2）的解为
(3)
(4)
(5)
这里m>n>0,(m,n)=1,mn为偶数,即为mn一奇一偶
由式（3）,（4）,（5）可知,x,y,z又只能都为平方数.设 ,则式（2）和式（1）为
(6)
（1）方程（6）可为
(7)
方程（7）的解为
(8)
(9)
(10)
这里,m>n>0,(m,n)=1,m为奇数,n为偶数； ;
(11)
(12)
(13)
其中, 式子中的各项是分别是把 式子中的各项颠倒过来写的,并且 (i=0,1,2,…,p-1,p).于是,在式（9）有解的同时,式（8）也同时有解.[5]
由式（24）,式（9）的解为
(14)
(15)
(16)
这里,a>b>0,(a,b)=1,ab为偶数.由式（8）,（15）可有
(17)
（2）方程（6）还可为
(18)
方程（18）的解为
(19)
(20)
(21)
这里u>v>0,(u,v)=1,uv为偶数.同时,式（20）的解为
(22)
(23)
(24)
这里, 和 的表达式分别与和相同.
由式（19）,（22）,（23）可有
(25)
这里,
( 3 ) 在a为偶数,b为奇数时,分别有
在p不整除ab时,从式（17）可知,p不整除g(m,n).因为(2ab,g(m,n))=1,由式（17）可有
(26)
(27)
(28)
因此,在式（26）有解的同时,式（27）也同时有解.设 是式（27）所有解的最小解.
从式（25）可知,p不整除f(a,b),这不整除g(a,b).因为 ,由式（25）可有
(29)
(30)
(31)
(32)
于是,从式（32）可以得知, 也是式（27）的解.由式（27）的解.由式（27）,（32）可有
(33)
在p不整除a,p整除b时,从式（17）可知,p整除 .因为 ,由式（17）可知,整除.因为,由式（17）可有
(34)
(35)
(36)
因此,在此（34）有解的同时,式（35）也同有解.设是式（35）所有解中的最小解.
从式（25）可知,p不整除f(a,b),p整除g(a,b).因为 ,由式（25）可有
(37)
(38)
(39)
(40)
于是,从式（40）可以得知, 也是式（35）的解.由式（35）,（40）可有
(41)
.在p整除a,p不整除b时,从式（17）可知,p整除g(n,m).因为 ,由式（17）可有
(42)
(43)
(44)
因此,在式（42）有解的同时,式（43）也同时有解.设 是式（43）所有解中的最小解.
从式中（25）可知,p整除f(a,b),p不整除g(a,b).因为,由式 （25）可有
(45)
(46)
(47)
(48)
于是,从式（46）可以得知, 也是式（43）.由式（43）,（46）可有
(49)
( 4 )在a为奇数,b为偶数,分别有
在p不整除ab时,从式（17）可知,p不整除g(m,n).因为 ,由式（17）可有
(50)
(51)
(52)
因此,在式（50）有解的同时,式（51）也同时有解.设 是式（51）所有解中的最小解.
从式（25）可知,p不整除f(a,b),p不整除g(a,b).因为 ,由式（25）可有
(53)
(54)
(55)
(56)
于是,从式（54）可以得知, 也是式（51）的解.由式（51）,（54）可有
(57)
在p整除a,p不除b时,从式（17）可知,p整除g(n,m).因为 ,由式（17）可有
(58)
(59)
(60)
因此,在式（58）有解的同时,式（59）也同时有解.设 是式（59）所有解中最小解.
从式（25）可知,p整除f(a,b),p不整除g(a,b).因为 ,由式（25）可有
(61)
(62)
(63)
(64)
于是,从式（64）可以得知, 也是式（59）的解.由式（59）,（64）可有
(65)
在p不整除a,p整除b时,从式（17）可知,p整除g(m,n).因为 ,由式（17）可有
(66)
(67)
(68)
因此,在式（66）有解的同时,式（67）也同时有解. 设 是式（67）所有解中的最小解.
从式（25）可知,p不整除f(a,b),p整除g(a,b).因为 ,由式（25）可有
(69)
(70)
(71)
(72)
于是,从式（70）可以得知, 也是式（67）的解.由式（67）,（70）可有
(73)
（5）根据式（33）,（41）,（49）,（57）,（65）,（73）的结论,这与假设 分别是一个最小解相矛盾.因此,在此（26）,（34）,（42）,（50）,（58）,（66）分别有解的同时,式（27）,（35）,（43）,（51）,（59）,（67）分别无解.于是,在式（9）有解的同地,式（8）无解,进而式（6）无解,式（1）无解.根据以上的证明,费马大定理成立. [6]