求极限lim(x→0) (e^x-x-1)/x

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/09/29 21:18:53

求极限lim(x→0) (e^x-x-1)/x
不用洛必达法则

原式=lim [x→0] [(e^x-1)/x-1]
设e^x-1=t,
e^x=1+t,
x=ln(1+t),
当x→0时,t→0,
lim [x→0] [(e^x-1)/x]=lim [t→0] {t/[ln(1+t)]
=lim [t→0] {1/[ln(1+t)^(1/t)]
=1/lne
=1/1
=1,
∴原式=lim [x→0] [(e^x-1)/x-1]
=1-1=0.
再问：第一行原式=lim [x→0] [(e^x-1)/x-1]，为什么？
再答： (e^x-x-1)/x=(e^x-1)/x-x/x=[(e^x-1)/x]-1,拆成两项,第二项 x/x=1, 再用重要极限lim [t→0][(1+t)^(1/t)]=e, lne=1, 1-1=0.
再问： lim [t→0] {1/[ln(1 t)^(1/t)]=1/lne
再答： lim [t→0] {1/[ln(1+t)^(1/t)]=1/lne,这是两个重要极限之一,lim [x→∞](1+1/x)^x=e,或lim [x→0](1+x)^(1/x)=e,
再问：如果不用到这两条式，不用泰勒公式，不用洛必达法则，这题做不出来对吗？
再答：目前我还没有想到第4种方法.

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