已知曲线曲率为K(x),起点和终点坐标,求曲线方程

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/19 15:42:08

根据曲率K(x),和曲率半经ρ的关系：有：k(x)=1/ρ
其中　ρ=|(1+y'^2)^(3/2)]/y"|
这样k(x)=y"/(1+y'^2)^(3/2),以下k(x)简记为K
两边平方化简整理可得：y''^2-k^2(1+y'^2)^3=0,这是一个高阶微分方程.
假设起点坐标为（x1,y1）终点坐标为（x2,y2）然后根据解微分方程的方法去解就是,中积分的边界条件为起终点坐标.
关于方程的解法和过程此处略去,详细可见大学高数微分方程解法.
再问：唉~！你说的我也知道，其实我想要的是过程和结果~！
再答：真麻烦因为是这样的，上面的幂次中不含整数次，是分式次，所以直接解这个微分方程是有难度的。通过换元法，令y'=t，原方程可化为：t'=k(1+t^2)^(3/2) 这样就有多种近似方法可解。一种是把后面(1+t^2)^(3/2)根据泰勒公式展开，展开到2次就可以，然后积分的就简单的多了。后就我就略了。一种是按照龙格库塔法，但该方法计算量大。你想一想，你是任意给的一条曲线，只知道起点和终点，怎么可能通过普通的积分就求出来，显然是一个较为复杂的微分方程，其实按常规是要曲线拟合去处理的。

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