如图,已知点P是矩形ABCD内一点,PA、PB、PC、PD把矩形分割成四个三角形,小东对该图形进行了研究.为了探究的需要

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/10 20:27:16

如图,已知点P是矩形ABCD内一点,PA、PB、PC、PD把矩形分割成四个三角形,小东对该图形进行了研究.为了探究的需要,小东过点P作PE⊥AD交BC于F,经过一番研究之后得出两条重要结论：
（1）S△APB+S△CPD=S△APD+S△BPC,（2）PA^2+PC^2=PB^2+PD^2
1）请你写出小东探究的过程.
2）当P在矩形外时,如图2,上述两个结论是否仍成立?若成立,请说明理由；若不成立,请写出你猜想的结论

解1）（1）∵AD∥BC PE⊥AD
∴PF⊥BC
∴S⊿APD+S⊿BPC=1/2AD*PE+1/2BC*PF
∵AD=BC ,S矩形=AD*EF
∴S⊿APD+S⊿BPC=1/2AD(PE+PF)=1/2AD*EF=1/2S矩形
同理S⊿APB+S⊿CPD=1/2S矩形
∴S⊿APB+S⊿CPD=S⊿APD+S⊿BPC
(2)易证明,四边形AEFB、EFCD是矩形∴AE=BF、DE=CF
根据勾股定理,PA²+PC²=CE²+PE²+CE²+PF²=BE²+PE²+PF²+DE²=(BE²+PF²)+(PE²+DE²)=PB²+PD²
2)(1)不成立,猜想：矩形的边所在直线将平面分成8个区域,当P在对角区域,则|S⊿APB-S⊿CPD|=|S⊿APD-S⊿BPC|；当P在AD、BC边区域,则|S⊿APD-S⊿BPC|=S⊿APB+S⊿CPD；
当P在边AB、CD区域,则|S⊿APB-S⊿CPD|=S⊿APD+S⊿BPC.
（2）成立.易证明,四边形AEFB、EFCD是矩形∴AE=BF、DE=CF
根据勾股定理,PA²+PC²=CE²+PE²+CE²+PF²=BE²+PE²+PF²+DE²=(BE²+PF²)+(PE²+DE²)=PB²+PD²

如图,已知点P是矩形ABCD内一点,PA、PB、PC、PD把矩形分割成四个三角形,小东对该图形进行了研究.为了探究的需要已知：如图,P是矩形ABCD内的一点,PA=PB,求证：PC=PD 如图,点P为矩形ABCD内一点,PB=PC,求证:PA=PD 如图,P是矩形ABCD内的一点,PA=PB,PC与PD相等吗?为什么? 如图,P是矩形ABCD内的一点,PA=PB.PC与PD相等吗?为什么? 如图,已知矩形ABCD,P是平面内任一点,连结PA,PB,PC,PD,求证:PA²+PC²=PB&# 已知,如图,P是矩形ABCD外的一点,且PD垂直PB,求证PA垂直PC 如图 p是矩形ABCD内一点,且PA=4,PB=1,PC=5,求PD. 如图,P是矩形ABCD所在平面内一点,且PA=PD,求证：PB=PC 如图,四边形ABCD是矩形,P是矩形内任一点.求证：PA的平方+PC的平方=PB的平方+PD的平方点P是矩形ABCD外的一点,PA⊥PC,求证：PB⊥PD 证明题；已知矩形ABCD和点P,P在矩形中,如图,证明PA*PA+PC*PC=PB*PB+PD*PD