大师作文网已知函数f（x）=x3+x（x∈R）．
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/10 16:21:47
已知函数f（x）=x3+x（x∈R）．
（1）指出f（x）的奇偶性及单调性，并说明理由；
（2）若a、b、c∈R，且a+b＞0，b+c＞0，c+a＞0，试判断f（a）+f（b）+f（c）的符号．
（1）指出f（x）的奇偶性及单调性，并说明理由；
（2）若a、b、c∈R，且a+b＞0，b+c＞0，c+a＞0，试判断f（a）+f（b）+f（c）的符号．
（1）∵函数f（x）=x3+x的定义域为R，关于原点对称，
又∵f（-x）=（-x）3+（-x）=-（x3+x）=-f（x）
∴f（x）为奇函数，
∵f′（x）=3x2+1＞0，∴f（x）在R上是增函数，
（2）由（1）得，
由a+b＞0得a＞-b，则f（a）＞f（-b）=-f（b），即f（a）+f（b）＞0．
同理，f（b）+f（c）＞0，f（c）+f（a）＞0．
故f（a）+f（b）+f（b）+f（c）+f（c）+f（a）＞0，
即有f（a）+f（b）+f（c）＞0．
又∵f（-x）=（-x）3+（-x）=-（x3+x）=-f（x）
∴f（x）为奇函数，
∵f′（x）=3x2+1＞0，∴f（x）在R上是增函数，
（2）由（1）得，
由a+b＞0得a＞-b，则f（a）＞f（-b）=-f（b），即f（a）+f（b）＞0．
同理，f（b）+f（c）＞0，f（c）+f（a）＞0．
故f（a）+f（b）+f（b）+f（c）+f（c）+f（a）＞0，
即有f（a）+f（b）+f（c）＞0．
已知函数f（x）=x3+x（x∈R）．
已知函数f（x）=x3-2ax2-3x，x∈R．
已知函数f（x）=x3-ax2+3x，a∈R．
已知函数f（x）=x3-ax2-3x，a∈R．
（2011•重庆模拟）已知函数f（x）=x3-2ax2-3x，x∈R．
已知函数f（x）=23x3-2ax2+3x（x∈R）．
已知函数f（x）=-x3+ax2+b（a、b∈R）．
已知函数f(x)=13x3-ax2+bx．（a，b∈R）
已知函数f（x）=x3-3x．
已知函数f（x）=（x3-6x2+3x+t）ex，t∈R．
已知函数f（x）=23x3−2ax2-3x（a∈R）．
已知函数f(x)＝13x3−ax2+1（a∈R）．