大师作文网高中向量题.13题
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/10 16:52:21
高中向量题.13题
设|α|/|β|=x,x＞0
α*β=αβ/β²=[|α||β|cosθ]/|β|²=[|α|/|β|]cosθ=xcosθ
同理β*α=[|β|/|α|]cosθ=(1/x)cosθ
由题意可知2xcosθ,(2/x)cosθ均为正整数
θ∈（π/4,π/2）,于是0＜cosθ＜√2/2
2xcosθ≥1,（2/x)cosθ≥1
得1/(2cosθ)≤x≤2cosθ
2cosθ≥1/(2cosθ）,得cosθ≥1/2,
于是1≤2cosθ≤√2
√2/2≤1/(2cosθ）≤1,于是√2/2≤x≤√2
于是x=1,2cosθ=1,得cosθ=1/2
α*β=xcosθ=1/2
α*β=αβ/β²=[|α||β|cosθ]/|β|²=[|α|/|β|]cosθ=xcosθ
同理β*α=[|β|/|α|]cosθ=(1/x)cosθ
由题意可知2xcosθ,(2/x)cosθ均为正整数
θ∈（π/4,π/2）,于是0＜cosθ＜√2/2
2xcosθ≥1,（2/x)cosθ≥1
得1/(2cosθ)≤x≤2cosθ
2cosθ≥1/(2cosθ）,得cosθ≥1/2,
于是1≤2cosθ≤√2
√2/2≤1/(2cosθ）≤1,于是√2/2≤x≤√2
于是x=1,2cosθ=1,得cosθ=1/2
α*β=xcosθ=1/2