如何证明三角形的中线、角平分线、高线交与一点

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/12 23:47:26

如何证明三角形的中线、角平分线、高线交与一点
应该是“如何证明三角形的中线、角平分线、高线分别交与一点

中线
可以使用塞瓦定理证明：
塞瓦定理
设O是△ABC内任意一点,
AO、BO、CO分别交对边于D、E、F,则 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1
假设D E 是中点,则连接CO并延长交AB于F
因为BD/DC=1 CE/EA=1 又因为F在AB上,所以AF/FB=1所以F为AB中点,所以三条中线交于一点.
高线
在ΔABC中,AC、AB上的高为BE和CF.
显然ΔABE∽ΔACF,故有AB/AC=AE/AF,即AF*AB=AE*AC (1)
过A作ΔABC的高AD,分别交BE,CF,AB于O1,O2,
由ΔAFO2∽ΔADB得:AF/AO2=AD/AB,即AF*AB=AO2*AD (2)
由ΔAEO1∽ΔADC得:AE/AO1=AD/AC,即AE*AC=AO1*AD (3)
根据等式(1)(2)(3)有
AO1*AD＝AO2*AD,
∴AO1=AO2,O1、O2重合,记重合点为O点,则O点均在高AD,BE,CF上,
∴三角形ABC得三条高交于一点O.
角平分线
设三角形ABC,首先两条角平分线（假设是角A和角B的）肯定交于一点,设为D,分别作三边垂线,AB BC AC上的垂足为E F D
由角平分线定理,DE=DF,DF=DG
所以DE=DE,由逆定理,CE也为角平分线

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