大师作文网关于复变函数的图像的疑问?
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/10 10:25:35
关于复变函数的图像的疑问?
如题,首先向请问：f(z)=e^z的图像是怎样的,是一条曲线,还是一个圆?（z是复数）
另外我想请问：复数是一个二维的数,那么复变函数的图像是一个曲面呢?还是一条曲线?因为从直观上讲,复数作为二维的数,它的映射应该成为一个三维的数,那么复变函数图像就该如z=f（x,y）一样是一个曲面,然而我在书上看到,复变函数的映射是从一个复平面（c平面）映射到另一个复平面（w平面）,如果这样的话,映射后那么作为点的轨迹,f(z)应该是w复平面中的一条曲线了,两种说法或理解,孰是孰非,
如题,首先向请问：f(z)=e^z的图像是怎样的,是一条曲线,还是一个圆?（z是复数）
另外我想请问：复数是一个二维的数,那么复变函数的图像是一个曲面呢?还是一条曲线?因为从直观上讲,复数作为二维的数,它的映射应该成为一个三维的数,那么复变函数图像就该如z=f（x,y）一样是一个曲面,然而我在书上看到,复变函数的映射是从一个复平面（c平面）映射到另一个复平面（w平面）,如果这样的话,映射后那么作为点的轨迹,f(z)应该是w复平面中的一条曲线了,两种说法或理解,孰是孰非,
这样来理
f(z)=e^z=e^(a+ib)=e^a(cosb+isinb)
z是复平面上的点集（就是整个坐标平面）
(a,b)经过f(z)变换后,得到了另一个复数(x,y),这个复数也得在一个二维平面上来表示：
x=e^acosb
y=e^asinb
当然,你可以将两个复平面画在一起,当作在一个复平面内考虑.
如果用空间来表示的话,由上分析,相当于是一个四维的空间才行,普通的立体空间表示不了.
这也是为什么我们常用两个复平面来考虑的缘故.
这些无数的(x,y)可能铺满整个复数平面,也可能只是复平面的一部分区域,也可能只是一条曲线.
再问： 非常感谢，您讲的很透彻，不过：f(z)=e^z的图像是怎样的？您还没有回答我，能告诉我吗？据说是个一个周期函数。
再答： e^z的图像就是除以原点的整个复平面。
周期性是因为f(z+2kπi)=f(z)的原因，它是复数周期，2kπi都是它的周期。
如果z不是指定为一个复平面，比如指定为一条直线y轴，即z=bi,那么经变换后，x=cosb,y=sinb,这就是一个单位圆了。
这也是我们常用曲线来研究变换的原因。
f(z)=e^z=e^(a+ib)=e^a(cosb+isinb)
z是复平面上的点集（就是整个坐标平面）
(a,b)经过f(z)变换后,得到了另一个复数(x,y),这个复数也得在一个二维平面上来表示：
x=e^acosb
y=e^asinb
当然,你可以将两个复平面画在一起,当作在一个复平面内考虑.
如果用空间来表示的话,由上分析,相当于是一个四维的空间才行,普通的立体空间表示不了.
这也是为什么我们常用两个复平面来考虑的缘故.
这些无数的(x,y)可能铺满整个复数平面,也可能只是复平面的一部分区域,也可能只是一条曲线.
再问： 非常感谢，您讲的很透彻，不过：f(z)=e^z的图像是怎样的？您还没有回答我，能告诉我吗？据说是个一个周期函数。
再答： e^z的图像就是除以原点的整个复平面。
周期性是因为f(z+2kπi)=f(z)的原因，它是复数周期，2kπi都是它的周期。
如果z不是指定为一个复平面，比如指定为一条直线y轴，即z=bi,那么经变换后，x=cosb,y=sinb,这就是一个单位圆了。
这也是我们常用曲线来研究变换的原因。