大师作文网（2014•威海）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（-1，0），B（4，0），C（0，2）三点．
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/11/11 19:20:39
（2014•威海）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（-1，0），B（4，0），C（0，2）三点．（1）求这条抛物线的解析式；
（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线相交于点D，连接BD，试求出∠BDA的度数．
（1）∵该抛物线过点C（0，2），
∴可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx+2．
将A（-1，0），B（4，0）代入，
得
a−b+2＝0
16a+4b+2＝0，
解得
a＝−
1
2
b＝
3
2，
∴抛物线的解析式为：y=-
1
2x2+
3
2x+2．
（2）存在．
由图象可知，以A、B为直角顶点的△ABE不存在，所以△ABE只可能是以点E为直角顶点的三角形．
在Rt△BOC中，OC=2，OB=4，
∴BC=
22+42=2
5．
在Rt△BOC中，设BC边上的高为h，则
1
2×2
5h=
1
2×2×4，
∴h=
4
5
5．
∵△BEA∽△COB，设E点坐标为（x，y），
∴
AB
BC=
|y|
4
5
5，
∴y=±2
将y=2代入抛物线y=-
1
2x2+
3
2x+2，
得x1=0，x2=3．
当y=-2时，不合题意舍去．
∴E点坐标为（0，2），（3，2）．
（3）如图2，连结AC，作DE⊥x轴于点E，作BF⊥AD于点F，
∴∠BED=∠BFD=∠AFB=90°．
设BC的解析式为y=kx+b，由图象，得
2＝b
0＝4k+b，
∴
k＝−
1
2
b＝2，
yBC=-
1
2x+2．
由BC∥AD，设AD的解析式为y=-
1
2x+n，由图象，得
0=-
1
2×（-1）+n
∴n=-
1
2，
yAD=-
1
2x-
1
2．
∴-
1
2x2+
3
2x+2=-
1
2x-
1
2，
解得：x1=-1，x2=5
∴D（-1，0）与A重合，舍去；
∴D（5，-3）．
∵DE⊥x轴，
∴DE=3，OE=5．
由勾股定理，得BD=
10．
∵A（-1，0），B（4，0），C（0，2），
∴OA=1，OB=4，OC=2．
∴AB=5
在Rt△AOC中，Rt△BOC中，由勾股定理，得
AC=
5，BC=2
5，
∴AC2=5，BC2=20，AB2=25，
∴AC2+BC2=AB2
∴△ACB是直角三角形，
∴∠ACB=90°．
∵BC∥AD，
∴∠CAF+∠ACB=180°，
∴∠CAF=90°．
∴∠CAF=∠ACB=∠AFB=90°，
∴四边形ACBF是矩形，
∴AC=BF=
5，
在Rt△BFD中，由勾股定理，
得DF=
5，
∴DF=BF，
∴∠ADB=45°．
∴可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx+2．
将A（-1，0），B（4，0）代入，
得
a−b+2＝0
16a+4b+2＝0，
解得
a＝−
1
2
b＝
3
2，
∴抛物线的解析式为：y=-
1
2x2+
3
2x+2．
（2）存在．
由图象可知，以A、B为直角顶点的△ABE不存在，所以△ABE只可能是以点E为直角顶点的三角形．
在Rt△BOC中，OC=2，OB=4，
∴BC=
22+42=2
5．
在Rt△BOC中，设BC边上的高为h，则
1
2×2
5h=
1
2×2×4，
∴h=
4
5
5．
∵△BEA∽△COB，设E点坐标为（x，y），
∴
AB
BC=
|y|
4
5
5，
∴y=±2
将y=2代入抛物线y=-
1
2x2+
3
2x+2，
得x1=0，x2=3．
当y=-2时，不合题意舍去．
∴E点坐标为（0，2），（3，2）．
（3）如图2，连结AC，作DE⊥x轴于点E，作BF⊥AD于点F，
∴∠BED=∠BFD=∠AFB=90°．
设BC的解析式为y=kx+b，由图象，得
2＝b
0＝4k+b，
∴
k＝−
1
2
b＝2，
yBC=-
1
2x+2．
由BC∥AD，设AD的解析式为y=-
1
2x+n，由图象，得
0=-
1
2×（-1）+n
∴n=-
1
2，
yAD=-
1
2x-
1
2．
∴-
1
2x2+
3
2x+2=-
1
2x-
1
2，
解得：x1=-1，x2=5
∴D（-1，0）与A重合，舍去；
∴D（5，-3）．
∵DE⊥x轴，
∴DE=3，OE=5．
由勾股定理，得BD=
10．
∵A（-1，0），B（4，0），C（0，2），
∴OA=1，OB=4，OC=2．
∴AB=5
在Rt△AOC中，Rt△BOC中，由勾股定理，得
AC=
5，BC=2
5，
∴AC2=5，BC2=20，AB2=25，
∴AC2+BC2=AB2
∴△ACB是直角三角形，
∴∠ACB=90°．
∵BC∥AD，
∴∠CAF+∠ACB=180°，
∴∠CAF=90°．
∴∠CAF=∠ACB=∠AFB=90°，
∴四边形ACBF是矩形，
∴AC=BF=
5，
在Rt△BFD中，由勾股定理，
得DF=
5，
∴DF=BF，
∴∠ADB=45°．
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如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点,已知点A（-3,0）
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