大师作文网谁能举一道证明函数极限的题 一个正例 一个反例
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/19 06:51:38
谁能举一道证明函数极限的题 一个正例 一个反例
1.证明函数极限的存在
-δ语言
对于任意的ε>0,存在δ,当|x-y|0时 arctan(x)/x 的极限是?
3.n->0时 ((1+x)^a)/(a*x) 的极限是?(其中a0)
已知 lim:x->0:sinx/x=1
lim:x->0:(1+x)^(1/x)=e
证明n->0 lim(arc sin x/x)=1,其他同理
证明：根据基本不等式
sin x< x < tan x ,0< x < pai/2
（基本不等式的推导可以画一个单位圆,然后对同一圆心角找到能够代表sin x数值和tan x数值的线段,通过围成三角形的面积比较可以得到这个不等式）
分别取倒数再乘以sin x得到
cos x< sin x/x < 1
因为这三个都是偶函数
所以推得不等式在(-pai/2,0)也成立
由于n->0时,lim cos x=1,lim 1=1
根据极限的夹逼性
得到n->0时,lim sin x/x=1
根据极限运算规则,可得lim x/sin x=1
然后,令U=arcsin x,因为x->0所以U->0
则lim arcsin x/x =lim U/sin U =1
证明完毕
-δ语言
对于任意的ε>0,存在δ,当|x-y|0时 arctan(x)/x 的极限是?
3.n->0时 ((1+x)^a)/(a*x) 的极限是?(其中a0)
已知 lim:x->0:sinx/x=1
lim:x->0:(1+x)^(1/x)=e
证明n->0 lim(arc sin x/x)=1,其他同理
证明：根据基本不等式
sin x< x < tan x ,0< x < pai/2
（基本不等式的推导可以画一个单位圆,然后对同一圆心角找到能够代表sin x数值和tan x数值的线段,通过围成三角形的面积比较可以得到这个不等式）
分别取倒数再乘以sin x得到
cos x< sin x/x < 1
因为这三个都是偶函数
所以推得不等式在(-pai/2,0)也成立
由于n->0时,lim cos x=1,lim 1=1
根据极限的夹逼性
得到n->0时,lim sin x/x=1
根据极限运算规则,可得lim x/sin x=1
然后,令U=arcsin x,因为x->0所以U->0
则lim arcsin x/x =lim U/sin U =1
证明完毕