大师作文网一个三维矩阵的特征值,如果有一对互为共轭的复数,几何意义是什么?
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/13 00:58:03
一个三维矩阵的特征值,如果有一对互为共轭的复数,几何意义是什么?
如果有一堆共轭的复数特征值,那说明特征多项式的根必有一个实数.
那么这个矩阵可以与型如 A 0
0 1
的矩阵相似.其中A是2*2阶的矩阵分块.其中A没有是特征值.那么A必然是旋转变换和某个倍乘变换的复合.
那么这个三维矩阵的意义是一那个实数特征值对应的特征向量为轴,作旋转变换和某个倍乘变换的复合.
再问： 我的意思是这对共轭复数的几何意义是什么呢，共轭的出现是因为什么样的旋转导致的? 例如对于特征值是1,2+0.1i，2-0.1i 来说，其共轭复数特征根显然模大小相同，是不是之间有一定的角度而非正交? 如果是旋转导致那么如何旋转，如何投影（如果是旋转而成的复数解，其原先值为实数，那么是不是说通过线性变换又可以变成实数对；但是如果是这样的话也有问题——其特征值矩阵（一个对角阵来说）应该如何变化再变回实矩阵？）
再答： 你可以看看一个二维旋转变幻的矩阵。如果非要说几何意义的话，要涉及到复分析，如果有兴趣的话可以看看相关的书籍。 至于你的疑惑可以这么说，旋转变换的矩阵是没有实数向量构的特征向量的。任何一个实数向量在旋转变换里都会旋转成新的实数向量。
再问： 谢谢，不过能够举一个比较浅显的例子么?
再答： cost -sint 0 sint cost 0 0 0 1 这个矩阵就是绕着z轴旋转，并沿着x-y方向旋转t弧度的矩阵。
那么这个矩阵可以与型如 A 0
0 1
的矩阵相似.其中A是2*2阶的矩阵分块.其中A没有是特征值.那么A必然是旋转变换和某个倍乘变换的复合.
那么这个三维矩阵的意义是一那个实数特征值对应的特征向量为轴,作旋转变换和某个倍乘变换的复合.
再问： 我的意思是这对共轭复数的几何意义是什么呢，共轭的出现是因为什么样的旋转导致的? 例如对于特征值是1,2+0.1i，2-0.1i 来说，其共轭复数特征根显然模大小相同，是不是之间有一定的角度而非正交? 如果是旋转导致那么如何旋转，如何投影（如果是旋转而成的复数解，其原先值为实数，那么是不是说通过线性变换又可以变成实数对；但是如果是这样的话也有问题——其特征值矩阵（一个对角阵来说）应该如何变化再变回实矩阵？）
再答： 你可以看看一个二维旋转变幻的矩阵。如果非要说几何意义的话，要涉及到复分析，如果有兴趣的话可以看看相关的书籍。 至于你的疑惑可以这么说，旋转变换的矩阵是没有实数向量构的特征向量的。任何一个实数向量在旋转变换里都会旋转成新的实数向量。
再问： 谢谢，不过能够举一个比较浅显的例子么?
再答： cost -sint 0 sint cost 0 0 0 1 这个矩阵就是绕着z轴旋转，并沿着x-y方向旋转t弧度的矩阵。