（2014•石家庄二模）已知函数f（x）=ex-ax-1（a∈R），其中e为自然对数的底数．

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：综合作业时间：2024/11/11 06:54:57

（2014•石家庄二模）已知函数f（x）=e^x-ax-1（a∈R），其中e为自然对数的底数．
（Ⅰ）若f（x）≥0对任意x≥0恒成立，求a的取值范围；
（Ⅱ）求证：当n≥2，n∈N时，恒有1

（Ⅰ）f'（x）=e^x-a．
①当a≤1时，f'（x）=e^x-a≥0对∀x≥0恒成立，即f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数；
又f（0）=0，∴f（x）≥f（0）=0对∀x≥0恒成立．
②当a＞1时，令f'（x）=0，得x=lna＞0．
当x∈（0，lna）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（lna，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．
若f（x）≥0对任意x≥0恒成立，则只需f（x）_min=f（lna）=e^lna-alna-1=a-alna-1≥0，
令g（a）=a-alna-1（a＞1），则g'（a）=1-lna-1=-lna＜0，即g（a）在区间（1，+∞）上单调递减；
又g（1）=0．故g（a）＜0在区间（1，+∞）上恒成立．即a＞1时，满足a-alna-1≥0的a不存在．
综上：a≤1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当a=1时，f（x）=e^x-x-1，f'（x）=e^x-1，易得f（x）_min=f（0）=0，即e^x≥x+1对任意x∈R恒成立．
取x=−
3i−1
3n（i=1，2，…，n），有1-
3i−1
3n≤e−
3i−1
3n，即(1−
3i−1
3n)n≤(e−
3i−1
3n)n≤e(
3i−1
3n)n=e−
3i−1
3．
相加即得：(1−
2
3n)n+(1−
5
3n)n+…+(1−
3n−1
3n)n≤e−
2
3+e−
5
3+…+e−
3n−1
3．
∴(1−
2
3n)n+(1−
5
3n)n+…+(1−
3n−1
3n)n=(
3n−2
3n)n+(
3n−5
3n)n+…+(
1
3n)n≤e−
2
3+e−
5
3+…+e−

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