∫[ln(lnx)/lnx]sinxdx为绝对收敛还是条件收敛?上限为正无穷,下限为e,

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/10 22:31:51

sinx的部分积分有界：|积分（从e到A）sinxdx|e^2上是递减趋于0的,由
Dirichle判别法知道广义积分收敛.
|sinx|*ln(lnx)/lnx>=(1－cos^2x)*ln(lnx)/lnx=ln(lnx)/lnx－cos2x*ln(lnx)/lnx,类似上面可以证明
广义积分（从e到无穷）cos2x*ln(lnx)/lnxdx收敛,而
广义积分（从e到无穷）ln(lnx)/lnxdx发散,因此不绝对收敛.
综上,是条件收敛.
再问：为什么cos2x*ln(lnx)/lnxdx收敛而ln(lnx)/lnxdx发散呢？这个要怎么积分？？
再答：做变量替换lnx=t，x=e^t，dx=e^tdt，原积分化为积分（从1到无穷）lnt*e^t/tdt e^t/t>1，故被积函数>lnt，积分发散。
再问： ln(lnx)/lnx在x>e^2上是递减趋于0？？为什么是e^2怎么想到的呢？？
再答：区间无所谓，只要保证x充分大时有递减趋于0就可以了。本题容易判断，考虑lnx/x的导数＝（1－lnx)/x^2，当x>e时是递减趋于0的，因此复合函数ln(lnx)/lnx在x>e^2时递减趋于0。

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