大师作文网证明任意一个自然数的5次方的个位数等于此数的个位数
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/11 18:51:35
证明任意一个自然数的5次方的个位数等于此数的个位数
请用理论证明1到9也成立
请用理论证明1到9也成立
证明任意一个自然数的5次方的个位数等于此数的个位数.
证明：求一个自然数的5次方后的个位数,实际上是求该自然数的个位数的5次方后的个位数.与其它的数无关.而个位数的取值是从0到9,不妨设该自然数的个位数是n,本题转换为：证明n^5个位数是n,等价于证明：n^5-n能被10整除.（因为个位数相同的两个数之差的个位数必定是0,所以能被10整除.）
要证n^5-n能被10整除,10=2×5,所以只需证明n^5-n能分别被2、5整除即可.
n^5-n=n(n^4-1)
=n(n^2-1)(n^2+1)
=(n-1)n(n+1)(n^2+1)
可以看出,n-1、n、n+1是三个连续自然数,三者之中必有偶数,所以n^5-n能被2整除.现只需证n^5-n能被5整除.
情形一：
当n取0、1时,很明显,n^5与n的个位数相同.
情形二：
如果n-1、n、n+1这三个连续自然数有一个是5的倍数,那么命题成立；
情形三：
如果n-1、n、n+1这三个连续自然数都不是5的倍数,因n的取值是从2到9,三个连续自然数都不是5的倍数的组合只有：123、234、678、789四种.此时n是2、3、7、8,n^2+1分别是：5、10、50、65,都是5的倍数.
综上,n^5-n能被2和5整除,所以原命题成立.
证明：求一个自然数的5次方后的个位数,实际上是求该自然数的个位数的5次方后的个位数.与其它的数无关.而个位数的取值是从0到9,不妨设该自然数的个位数是n,本题转换为：证明n^5个位数是n,等价于证明：n^5-n能被10整除.（因为个位数相同的两个数之差的个位数必定是0,所以能被10整除.）
要证n^5-n能被10整除,10=2×5,所以只需证明n^5-n能分别被2、5整除即可.
n^5-n=n(n^4-1)
=n(n^2-1)(n^2+1)
=(n-1)n(n+1)(n^2+1)
可以看出,n-1、n、n+1是三个连续自然数,三者之中必有偶数,所以n^5-n能被2整除.现只需证n^5-n能被5整除.
情形一：
当n取0、1时,很明显,n^5与n的个位数相同.
情形二：
如果n-1、n、n+1这三个连续自然数有一个是5的倍数,那么命题成立；
情形三：
如果n-1、n、n+1这三个连续自然数都不是5的倍数,因n的取值是从2到9,三个连续自然数都不是5的倍数的组合只有：123、234、678、789四种.此时n是2、3、7、8,n^2+1分别是：5、10、50、65,都是5的倍数.
综上,n^5-n能被2和5整除,所以原命题成立.
证明任意一个自然数的5次方的个位数等于此数的个位数
当n为自然数时,试证明3的n+4次方与3的n次方的个位数相同.
一个两位数等于它个位数的平方,且个位数比十位数大3,则这两个数是?
一个两位数,十位数是个位数的4分之3,个位数减2,就等于十位数,这个数是多少?
一个两位数是它个位数的平方,且个位数比十位数大三,这此双位数.
三的2010次方的个位数 等于多少
有一个自然数,它的个位数是0,它共有4个因数,求这个数
有一个自然数,他的个位数是0,它共有4个因数,求这个数
将3的406次方写成十进制数,问个位数等于多少?
一个三位数它的个位数十位数百位数依次是三个连续的自然数这三个数字和大于22这三位数在900求此三位数
一个两位数 个位数是十位数的4倍 这个两位数加5个位数就等于十位数 不能用方程等
2的2010次方的个位数是多少?