（2014•东莞二模）已知函数f（x）=x3-ax2-x+2．（a∈R）．

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：综合作业时间：2024/11/17 21:07:17

（2014•东莞二模）已知函数f（x）=x³-ax²-x+2．（a∈R）．
（1）当a=1时，求函数f（x）的极值；
（2）若对∀x∈R，有f′(x)≥|x|−

（1）当a=1时，f（x）=x³-x²-x+2，求导函数可得f'（x）=3x²-2x-1=（x-1）（3x+1），（2分）
令f'（x）=0，解得x1＝−
1
3，x2＝1．
当f'（x）＞0时，得x＞1或x＜−
1
3；当f'（x）＜0时，得−
1
3＜x＜1．
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x (−∞，−
1
3) −
1
3 (−
1
3，1) 1 （1，+∞）
f'（x） + 0 - 0 +
f（x）单调递增极大单调递减极小单调递增（4分）
∴当x＝−
1
3时，函数f（x）有极大值，f(x)极大＝f(−
1
3)＝2
5
27，（5分）
当x=1时函数f（x）有极小值，f（x）_极小=f（1）=（16分）
（2）∵f'（x）=3x²-2ax-1，∴对∀x∈R，f′(x)≥|x|−
4
3成立，
即3x2−2ax−1≥|x|−
4
3对∀x∈R成立，（7分）
①当x＞0时，有3x2−(2a+1)x+
1
3≥0，即2a+1≤3x+
1
3x，对∀x∈（0，+∞）恒成立，（9分）
∵3x+
1
3x≥2
3x•
1
3x＝2，当且仅当x＝
1
3时等号成立，∴2a+1≤2⇒a≤
1
2（11分）
②当x＜0时，有3x2+(1−2a)x+
1
3≥0，即1−2a≤3|x|+
1
3|x|，对∀x∈（-∞，0）恒成立，
∵3|x|+
1
3|x|≥2

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