大师作文网高一数学题目三道...谢谢帮忙!
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/12 08:49:22
高一数学题目三道...谢谢帮忙!
【题目】已知函数f(x)=2sinωx(ω>0)在区间[-π/3,π/4]上的最小值是-2,则ω的最小值等于（ ）
【解题过程】解:由题意,已知f(x)=sinx的周期为2π,w=2π/T(T是周期)
要求函数f(x)=2sinωx(ω>0)在区间[-π/3,π/4]上的最小值是-2,w的最小值,就得使它的周期最大.
因为函数f(x)=2sinωx一定经过原点,又因为-π/3的绝对值比π/4的绝对值大,所以当它的周期T=4*π/3时,它的周期最大.
即周期T=4π/3
所以w=2π/T=3/2
所以w的最小值等于3/2
【疑问】为什么因为函数经过原点且对区间的两个边界值的绝对值进行讨论之后,就可以断定当它的周期T=4*π/3时,它的周期最大呢?可不可以讲细一点,我笨……
【题目】已知f(x)=2cos(ωx+φ)+m,恒有f(x+π/3）=f(-x),且f(π/6）=-1,则实数m的值为（ ）
【题目】已知x∈[-π/6,π/2],则函数y=(sinx+1)(cosx+1)的最大值和最小值分别是（ ）
【疑问】以上两道题是我不太会做的,希望能够有详细的解释说明给我看一下,我的理科大脑总是不太灵光,谢谢大家的帮助!
第一个问题可以不用回答了，我已经得到答案了。谢谢大家！
【题目】已知函数f(x)=2sinωx(ω>0)在区间[-π/3,π/4]上的最小值是-2,则ω的最小值等于（ ）
【解题过程】解:由题意,已知f(x)=sinx的周期为2π,w=2π/T(T是周期)
要求函数f(x)=2sinωx(ω>0)在区间[-π/3,π/4]上的最小值是-2,w的最小值,就得使它的周期最大.
因为函数f(x)=2sinωx一定经过原点,又因为-π/3的绝对值比π/4的绝对值大,所以当它的周期T=4*π/3时,它的周期最大.
即周期T=4π/3
所以w=2π/T=3/2
所以w的最小值等于3/2
【疑问】为什么因为函数经过原点且对区间的两个边界值的绝对值进行讨论之后,就可以断定当它的周期T=4*π/3时,它的周期最大呢?可不可以讲细一点,我笨……
【题目】已知f(x)=2cos(ωx+φ)+m,恒有f(x+π/3）=f(-x),且f(π/6）=-1,则实数m的值为（ ）
【题目】已知x∈[-π/6,π/2],则函数y=(sinx+1)(cosx+1)的最大值和最小值分别是（ ）
【疑问】以上两道题是我不太会做的,希望能够有详细的解释说明给我看一下,我的理科大脑总是不太灵光,谢谢大家的帮助!
第一个问题可以不用回答了，我已经得到答案了。谢谢大家！
1.反过来你看：
sinx这个函数你懂吧
WX不就是把X轴放大吗?它的意思就是放大多少倍使有2sinX=-2根据正弦函数知当x=-π/2 +2kπ时,它都成立,
在负值上可以选-π/2点,正值上则可以选3π/2点
那么放大[-π/3,π/4]
是选到-π/2呢还是到3π/2呢?
因为-π/2 / -π/3=3/2倍
3π/2 /π/4 =6倍
W最小就是3/2倍了
2.
f(x)=2cos(ωx+φ)+m
f(x+π/3）=f(-x)代入得：f(x+π/3)=2cos(ω（x+π/3）+φ)+m
=f(-x)=2cos(-ωx+φ)+m
即2cos(ω（x+π/3）+φ)+m=2cos(-ωx+φ)+m
得cos(ω（x+π/3）+φ)=cos(-ωx+φ)=cos(ωx-φ) [因为cos(-x)=cosx]
要使两余弦相等,只要令
ω（x+π/3）+φ=2kπ+ωx-φ k为整数
即：φ=kπ-πω/6②
f(π/6）=-1即 2cos(ωπ/6+φ)+m=-1③
把②代入③得：2cos(ωπ/6+φ)+m=2cos(kπ)+m=-1
因为cos(kπ)=1 或者-1
m=-1±2 m=-3 或者1
2.x∈[-π/6,π/2]
sinx在[-π/6,π/2]的值域是[-1/2,1]
cosx在[-π/6,π/2]的值域是[0,1]
(sinx+1)(cosx+1)=1+sinx+cosx+1/2 sin2x
又cos(x+π/4)=√2/2（sinx+cosx）
知sinx+cosx=√2sin(x+π/4)
(sinx+1)(cosx+1)=1+1/2 sin2x+√2sin(x+π/4)
令t=x+π/4∈[-π/6+π/4,π/2+π/4]=[π/12,3π/4]
2x=2t-π/2
1+1/2 sin2x+√2sin(x+π/4)=1+1/2sin(2t-π/2)+√2sin(t)
=1-1/2cos(2t)+√2sin(t)
=1-1/2cos(2t)+√2sin(t)
再令sint=v t∈[π/12,3π/4]
在t ∈[π/12,3π/4]时,sint的范围是：[sinπ/12,1]
[sinπ/6=2sinπ/12cosπ/12=2sinπ/12√（1-sin²π/12）
得：sinπ/12=（2±√5）/4 舍去负值sinπ/12=（2+√5）/4 ]
sint的范围是：v∈[（2+√5）/4,1]
cos2t=1-2v²
=1-1/2(1-2v²)+√2v=v²+√2v+1/2
在区间[（2+√5）/4,1]上求最大和最小值
对称轴为：-√2/2区间在对称轴同一侧.
所以它的最大值为在1点的值,最小值为在（2+√5）/4上的值,分别为：
最大：3/2+√2
最小：（17+4√5+8√2+4√10）/16
这题比较难,你好好体味一下
sinx这个函数你懂吧
WX不就是把X轴放大吗?它的意思就是放大多少倍使有2sinX=-2根据正弦函数知当x=-π/2 +2kπ时,它都成立,
在负值上可以选-π/2点,正值上则可以选3π/2点
那么放大[-π/3,π/4]
是选到-π/2呢还是到3π/2呢?
因为-π/2 / -π/3=3/2倍
3π/2 /π/4 =6倍
W最小就是3/2倍了
2.
f(x)=2cos(ωx+φ)+m
f(x+π/3）=f(-x)代入得：f(x+π/3)=2cos(ω（x+π/3）+φ)+m
=f(-x)=2cos(-ωx+φ)+m
即2cos(ω（x+π/3）+φ)+m=2cos(-ωx+φ)+m
得cos(ω（x+π/3）+φ)=cos(-ωx+φ)=cos(ωx-φ) [因为cos(-x)=cosx]
要使两余弦相等,只要令
ω（x+π/3）+φ=2kπ+ωx-φ k为整数
即：φ=kπ-πω/6②
f(π/6）=-1即 2cos(ωπ/6+φ)+m=-1③
把②代入③得：2cos(ωπ/6+φ)+m=2cos(kπ)+m=-1
因为cos(kπ)=1 或者-1
m=-1±2 m=-3 或者1
2.x∈[-π/6,π/2]
sinx在[-π/6,π/2]的值域是[-1/2,1]
cosx在[-π/6,π/2]的值域是[0,1]
(sinx+1)(cosx+1)=1+sinx+cosx+1/2 sin2x
又cos(x+π/4)=√2/2（sinx+cosx）
知sinx+cosx=√2sin(x+π/4)
(sinx+1)(cosx+1)=1+1/2 sin2x+√2sin(x+π/4)
令t=x+π/4∈[-π/6+π/4,π/2+π/4]=[π/12,3π/4]
2x=2t-π/2
1+1/2 sin2x+√2sin(x+π/4)=1+1/2sin(2t-π/2)+√2sin(t)
=1-1/2cos(2t)+√2sin(t)
=1-1/2cos(2t)+√2sin(t)
再令sint=v t∈[π/12,3π/4]
在t ∈[π/12,3π/4]时,sint的范围是：[sinπ/12,1]
[sinπ/6=2sinπ/12cosπ/12=2sinπ/12√（1-sin²π/12）
得：sinπ/12=（2±√5）/4 舍去负值sinπ/12=（2+√5）/4 ]
sint的范围是：v∈[（2+√5）/4,1]
cos2t=1-2v²
=1-1/2(1-2v²)+√2v=v²+√2v+1/2
在区间[（2+√5）/4,1]上求最大和最小值
对称轴为：-√2/2区间在对称轴同一侧.
所以它的最大值为在1点的值,最小值为在（2+√5）/4上的值,分别为：
最大：3/2+√2
最小：（17+4√5+8√2+4√10）/16
这题比较难,你好好体味一下