大师作文网一道 高数
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/10 23:40:53
一道 高数
设f(x) = ln(x)^p/x,可算得f'(x) = ln(x)^(p-1)·(p-ln(x))/x^2.
当x > e^p时f'(x) < 0,故f(x)在(e^p,+∞)上单调递减.
由洛必达法则,lim{x → +∞} ln(x)/x^(1/p) = lim{x → +∞} p/x^(1/p) = 0.
故lim{x → +∞} ln(x)^p/x = (lim{x → +∞} ln(x)/x^(1/p))^p = 0 (p > 0,而函数x^p连续).
综上,当n > e^p时,ln(n)^p/n关于n单调递减趋于0.
再问： 你好，那个证明它趋紧于0的地方我没看懂..能写一下，照下来吗？谢谢啦
再答： 其实求这个极限算是函数极限的基本功, 所以我写的比较简单.
上面是用了洛必达法则, 中间省略了一些化简的步骤.
下面本质上使用了函数x^p在x = 0处的连续性.直接对原式用洛必达法则也是可以的, 但是需要用若干次.
再问： 谢谢！！
再答： 不用谢.
当x > e^p时f'(x) < 0,故f(x)在(e^p,+∞)上单调递减.
由洛必达法则,lim{x → +∞} ln(x)/x^(1/p) = lim{x → +∞} p/x^(1/p) = 0.
故lim{x → +∞} ln(x)^p/x = (lim{x → +∞} ln(x)/x^(1/p))^p = 0 (p > 0,而函数x^p连续).
综上,当n > e^p时,ln(n)^p/n关于n单调递减趋于0.
再问： 你好，那个证明它趋紧于0的地方我没看懂..能写一下，照下来吗？谢谢啦
再答： 其实求这个极限算是函数极限的基本功, 所以我写的比较简单.
上面是用了洛必达法则, 中间省略了一些化简的步骤.下面本质上使用了函数x^p在x = 0处的连续性.直接对原式用洛必达法则也是可以的, 但是需要用若干次.
再问： 谢谢！！
再答： 不用谢.