求证 lim (1+1/2+1/3+...+1/n)/n=0

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/17 06:18:10

楼上不要乱说啦,调和级数下面不是还要除以一个n嘛
证明：
法一：对于数学基础比较好的人,或者参加过数学建模的人,或许知道如下式子：
当n趋向于无穷大时：1+1/2+1/3+...+1/n=ln(n) + C
其中C是欧拉常数,C约等于0.5772...
于是本题轻而易举：
lim (1+1/2+1/3+...+1/n)/n
=lim [ln(n)+C]/n
用罗比达法则：
=lim (1/n)/1
=0
法二：本题是“无穷大/无穷大”的极限,直接用STOLZ定理.
lim A(n)/B(n)
=lim [A(n+1)-A(n)]/[B(n+1)-B(n)]
所以原式=
lim [1/(n+1)]/[(n+1)-n]
=lim 1/(n+1)
=0
法三：如果不知道上面两个高级的公式,就老老实实证明：
先证明lim [(1+1/2+1/3+...+1/n) - ln(n)]等于一个常数,再代入法一.
我们就先来证明lim [(1+1/2+1/3+...+1/n) - ln(n)]等于一个常数.
原式=
lim (1+1/2+1/3+...+1/n) - ln[(2/1)*(3/2)*(4/3)*...*(n/(n-1))]
=lim (1+1/2+1/3+...+1/n) - [ln(2/1)+ln(3/2)+...+ln(n/(n-1))]
=lim 1 + [(1/2)-ln(1/2)] + [1/3-ln(3/2)] + ...+[1/n-ln(n/(n-1))]
这是一个级数,把ln函数用泰勒级数展开,正好第一项会被前面的1/n消去,所以这个级数相当于(1/n^2),是收敛的.
至此证明了“lim [(1+1/2+1/3+...+1/n) - ln(n)]等于一个常数”
然后用法一就行了.

求证 lim (1+1/2+1/3+...+1/n)/n=0 lim[(n+3)/(n+1))]^(n-2) 【n无穷大】求证一列高数数列极限题：lim(3n^2+n)/(2n^2-1)=3/2 证明两个简单极限1、lim n→∞ n/[(n!)^(1/n)]=e2、an→A 求证：lim n→∞ (a1+2a2+ 求证lim（1+1/n+1/n2）n =e ( n→∞) lim n->无穷大(2^n-1)/(3^n+1) lim根号n^2+n+1/3n-2 lim(3^2n+5^n)/(1+9^n) 求lim n→∞ (1+2/n)^n+3 微积分证明数列极限,设ai≥0,i=1,2,...,k,求证：lim(a1^n+a2^n+...+ak^n)^1/n=m 求极限,lim(x->0) (1-2sinx)^(3/x)lim(n->+∞) (n!-4^n) / (6+ln(n)+ 若a>0,则lim{(3^n-a^n)/[3^(n+1)+a^(n+1)]}=?