如何证明二元函数一条等值线上一点的法向量就是梯度?

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/13 01:32:51

因为等值线的法向量为(f(下标x)(x0,y0),f(下标y)(x0,y0)),(f(下标x)表示对x的导数）
同时梯度grad在该点亦为(f(下标x)(x0,y0),f(下标y)(x0,y0)）,二者相同
等值线的法向量是从空间曲面法线求法推出
梯度则是定义
如果还是不太清楚可以追问
再问：劳驾推证一下等值线的法向量为何是(f(下标x)(x0,y0),f(下标y)(x0,y0))？
再答：设光滑曲线F(x,y)=0 x=ψ(t),y=θ(t),M点为（x0,y0,z0),对应t=t0 通过一元向量值函数求导有在M的切向量为T=（ψ(t)，θ(t)),T为向量因为 x=ψ(t),y=θ(t)在线上，F(x=ψ(t),y=θ(t))=0 对t=t0求导，f(下标x)(x0,y0)*ψ`(t)+f(下标y)(x0,y0))*y=θ`(t)=0，n=(f(下标x)(x0,y0),f(下标y)(x0,y0)) T垂直于n T为切向量，n=(f(下标x)(x0,y0),f(下标y)(x0,y0))为法向量这证明本来是三维的，我简化为题意的想了解原来三维的证明，可看同济6版高数下册98页

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