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已知任意非零实数xy满足3x²+4xy≤λ(x²+y²)恒成立,求实数λ最小值

来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/06 02:44:34
已知任意非零实数xy满足3x²+4xy≤λ(x²+y²)恒成立,求实数λ最小值
已知任意非零实数xy满足3x²+4xy≤λ(x²+y²)恒成立,求实数λ最小值
因x、y都不为0,则:
3x²+4xy≤λ(x²+y²),得:
λ≥(3x²+4xy)/(x²+y²)
设:t=x/y,且M=(3x²+4xy)/(x²+y²) 【分子分母同除以y²】
则:
M=(3t²+4t)/(1+t²)
=[(3t²+3)+(4t-3)]/(1+t²)
=3+(4t-3)/(1+t²)
因λ只要大于等于M的最大值即可,则只需求出(4t-3)/(1+t²)的最大值即可.
W=(4t-3)/(1+t²) 【设:4t-3=n,则:t=(1/4)(n+3)】
=n/[1+(1/16)(n+3)²]
=(16n)/(n²+6n+25) 【分子分母同除以n】
=16/[(n)+(25/n)+6]
则对于n+(25/n)利用基本不等式,得:n+(25/n)≥10
则:W的最大值是16/[6+10]=1
则:λ≥4
即λ的最小值是4