22.(2013湖南,理22)(本小题满分13分)已知a>0,函数f(x)=. (1)记f(x)在区间[0,4]上的最大
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/19 03:58:13
22.(2013湖南,理22)(本小题满分13分)已知a>0,函数f(x)=. (1)记f(x)在区间[0,4]上的最大值为g(a),求g(a)的表达式; (2)是否存在a,使函数y=f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由.
22.解:(1)当0≤x≤a时,f(x)=; 当x>a时,f(x)=. 因此,当x∈(0,a)时,f′(x)=<0,f(x)在(0,a)上单调递减; 当x∈(a,+∞)时,f′(x)=>0,f(x)在(a,+∞)上单调递增. ①若a≥4,则f(x)在(0,4)上单调递减,g(a)=f(0)=. ②若0<a<4,则f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,4)上单调递增. 所以g(a)=max{f(0),f(4)}. 而f(0)-f(4)=, 故当0<a≤1时,g(a)=f(4)=; 当1<a<4时,g(a)=f(0)=. 综上所述,g(a)= (2)由(1)知,当a≥4时,f(x)在(0,4)上单调递减,故不满足要求. 当0<a<4时,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,4)上单调递增. 若存在x1,x2∈(0,4)(x1<x2),使曲线y=f(x)在(x1,f(x1)),(x2,f(x2))两点处的切线互相垂直, 则x1∈(0,a),x2∈(a,4),且f′(x1)·f′(x2)=-1, 即. 亦即x1+2a=.(*) 由x1∈(0,a),x2∈(a,4)得x1+2a∈(2a,3a),∈. 故(*)成立等价于集合A={x|2a<x<3a}与集合B=的交集非空. 因为<3a,所以当且仅当0<2a<1,即0<a<时,A∩B≠. 综上所述,存在a使函数f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直,且a的取值范围是.
因为 <3a,所以当且仅当0<2a<1,即0<a< 时,A∩B≠ ,这一步看不懂,为什么?请老师指点。
22.解:(1)当0≤x≤a时,f(x)=; 当x>a时,f(x)=. 因此,当x∈(0,a)时,f′(x)=<0,f(x)在(0,a)上单调递减; 当x∈(a,+∞)时,f′(x)=>0,f(x)在(a,+∞)上单调递增. ①若a≥4,则f(x)在(0,4)上单调递减,g(a)=f(0)=. ②若0<a<4,则f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,4)上单调递增. 所以g(a)=max{f(0),f(4)}. 而f(0)-f(4)=, 故当0<a≤1时,g(a)=f(4)=; 当1<a<4时,g(a)=f(0)=. 综上所述,g(a)= (2)由(1)知,当a≥4时,f(x)在(0,4)上单调递减,故不满足要求. 当0<a<4时,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,4)上单调递增. 若存在x1,x2∈(0,4)(x1<x2),使曲线y=f(x)在(x1,f(x1)),(x2,f(x2))两点处的切线互相垂直, 则x1∈(0,a),x2∈(a,4),且f′(x1)·f′(x2)=-1, 即. 亦即x1+2a=.(*) 由x1∈(0,a),x2∈(a,4)得x1+2a∈(2a,3a),∈. 故(*)成立等价于集合A={x|2a<x<3a}与集合B=的交集非空. 因为<3a,所以当且仅当0<2a<1,即0<a<时,A∩B≠. 综上所述,存在a使函数f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直,且a的取值范围是.
因为 <3a,所以当且仅当0<2a<1,即0<a< 时,A∩B≠ ,这一步看不懂,为什么?请老师指点。
解题思路: 在红字部分,给你做出了解答,最主要的是A与B两个集合由公共元素,这是关键.
解题过程:
解题过程:
22.(2013湖南,理22)(本小题满分13分)已知a>0,函数f(x)=. (1)记f(x)在区间[0,4]上的最大
已知函数f(x)是定义在区间[-a、a](a>0)上的奇函数,F(x)=f(x)+1,则F(x)的最大值域与小值之和为?
已知函数f(x)=-x^2+8x,求f(x)在区间[0,5]上的最大最小值;
18 .(本小题满分 13 分) 已知函数 2 ( ) 1 f x x ,函数 ( ) 2 ln g x t x
已知函数f(x)=x+9/x(x>0)写出函数f(x)的单调区间 求函数f(x)在区间[2.9] 上的值域
函数求导题已知函数f(x)=ln(2-x)+ax当a>0时,求函数f(x)在区间【0,1】上的最大值
(本小题满分14分) 已知函数 f (x)=e x -k -x,其中x∈R. (1)当k=0时,若g(x)=  
已知函数f(x)=4x x2+a .请完成以下任务:(Ⅰ)探究a=1时,函数f(x)在区间[0,+∞)上的
已知二次函数f(x)=ax²+4x+3a,且f(1)=0 求函数f(x)在【t,t+1】上的最大
(本小题满分12分)函数f(x)=ax 2 -2(a-1)x-2lnx ,a>0
高一函数题:已知定义域在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间【0,2】上是增函数.
设偶函数f(x)在区间[a,b]上是增函数(a>0),判断F(x)=(1/2)^f(x)-x 在区间[-b,-a]上的单