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22.(2013湖南,理22)(本小题满分13分)已知a>0,函数f(x)=. (1)记f(x)在区间[0,4]上的最大

来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/06 06:00:21
22.(2013湖南,理22)(本小题满分13分)已知a>0,函数f(x)=. (1)记f(x)在区间[0,4]上的最大值为g(a),求g(a)的表达式; (2)是否存在a,使函数y=f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由.
22.解:(1)当0≤x≤a时,f(x)=; 当x>a时,f(x)=. 因此,当x∈(0,a)时,f′(x)=<0,f(x)在(0,a)上单调递减; 当x∈(a,+∞)时,f′(x)=>0,f(x)在(a,+∞)上单调递增. ①若a≥4,则f(x)在(0,4)上单调递减,g(a)=f(0)=. ②若0<a<4,则f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,4)上单调递增. 所以g(a)=max{f(0),f(4)}. 而f(0)-f(4)=, 故当0<a≤1时,g(a)=f(4)=; 当1<a<4时,g(a)=f(0)=. 综上所述,g(a)= (2)由(1)知,当a≥4时,f(x)在(0,4)上单调递减,故不满足要求. 当0<a<4时,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,4)上单调递增. 若存在x1,x2∈(0,4)(x1<x2),使曲线y=f(x)在(x1,f(x1)),(x2,f(x2))两点处的切线互相垂直, 则x1∈(0,a),x2∈(a,4),且f′(x1)·f′(x2)=-1, 即. 亦即x1+2a=.(*) 由x1∈(0,a),x2∈(a,4)得x1+2a∈(2a,3a),. 故(*)成立等价于集合A={x|2a<x<3a}与集合B=的交集非空. 因为<3a,所以当且仅当0<2a<1,即0<a<时,A∩B≠. 综上所述,存在a使函数f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直,且a的取值范围是.
因为 <3a,所以当且仅当0<2a<1,即0<a< 时,A∩B≠ ,这一步看不懂,为什么?请老师指点。
22.(2013湖南,理22)(本小题满分13分)已知a>0,函数f(x)=. (1)记f(x)在区间[0,4]上的最大
解题思路: 在红字部分,给你做出了解答,最主要的是A与B两个集合由公共元素,这是关键.
解题过程: