大师作文网已知函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d是R上的奇函数,且在x=1时取得极小值-2/3
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/10 16:17:37
已知函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d是R上的奇函数,且在x=1时取得极小值-2/3
1）求函数f（x）的解析式
2）对任意X1,X2∈[-1,1]证明|f（x1）-f（x2）|≤4/3
1）求函数f（x）的解析式
2）对任意X1,X2∈[-1,1]证明|f（x1）-f（x2）|≤4/3
函数f（x） 为奇函数,
f(-x)=-f(x)
所以-[ax^3+bx^2+cx+d]=a(-x)^3+b(-x)^2-cx+d
所以b=0,d=0
所以f=ax^3+cx
f'=3ax^2+c
当x＝1时f（x）有极小值-3/2.
所以x=1是f'=0的一个根,所以3a+c=0
f(1)=a+c=-3/2
联立方程可得：a=3/4,c=-9/4
f(x)=3/4x^3-9/4x
f'(x)=9/4x^2-9/4=9/4(x^2-1)
故当-1
f(-x)=-f(x)
所以-[ax^3+bx^2+cx+d]=a(-x)^3+b(-x)^2-cx+d
所以b=0,d=0
所以f=ax^3+cx
f'=3ax^2+c
当x＝1时f（x）有极小值-3/2.
所以x=1是f'=0的一个根,所以3a+c=0
f(1)=a+c=-3/2
联立方程可得：a=3/4,c=-9/4
f(x)=3/4x^3-9/4x
f'(x)=9/4x^2-9/4=9/4(x^2-1)
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