大师作文网矩阵乘法何时交换仍然成立
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/10 11:19:58
矩阵乘法何时交换仍然成立
Sherman-Morrison公式推导中
http://ccjou.wordpress.com/2012/08/03/sherman-morrison-%E5%85%AC%E5%BC%8F/
为什么第二条式子中,分子v‘bu可以变换为uv'b? 自己举例是可以验证的,但是我想知道推导的过程.还有什么样的情况也是可以交换的?
这里的不是矩阵乘法交换问题,因为vTb是一个数,所以放在前面后面都没有影响.具体可交换阵的性质可以参考百科上面的详细解释,eg:
定理1
下面是可交换矩阵的充分条件：
(1) 设A ,B 至少有一个为零矩阵,则A ,B 可交换;
(2) 设A ,B 至少有一个为单位矩阵,则A ,B可交换;
(3) 设A ,B 至少有一个为数量矩阵,则A ,B可交换;
(4) 设A ,B 均为对角矩阵,则A ,B 可交换;
(5) 设A ,B 均为准对角矩阵（准对角矩阵是分块矩阵概念下的一种矩阵.即除去主对角线上分块矩阵不为零矩阵外,其余分块矩阵均为零矩阵）,则A ,B 可交换;
(6) 设A*是A 的伴随矩阵,则A*与A可交换;
(7) 设A可逆,则A 与其逆矩阵可交换;
注：A的逆矩阵经过数乘变换所得到的矩阵也可以与A进行交换.
(8) A^n （n=0,1...,n属于N）可与A^m(m=0,1...,m属于N)交换.这一点由矩阵乘法的交换律证明.
再问： 我也想过这样，但第二条式子，最后一个等号两边，原本相乘为数量的两个矩阵被拆开，结合顺序也发生变化
再答： 这个是完全没有问题的，你可以只考虑最终向量的第一个元素，对比vTbu和uvTb的结果，想想它们的本质，它是n个数乘以u1加和，而n个数也分别可以拆分成两个数乘积，一个是u1乘以vi再乘以bi加和，一个是vi乘以bi最后和乘以u1.本质是相同的，自然可以相等，也就是交换。
定理1
下面是可交换矩阵的充分条件：
(1) 设A ,B 至少有一个为零矩阵,则A ,B 可交换;
(2) 设A ,B 至少有一个为单位矩阵,则A ,B可交换;
(3) 设A ,B 至少有一个为数量矩阵,则A ,B可交换;
(4) 设A ,B 均为对角矩阵,则A ,B 可交换;
(5) 设A ,B 均为准对角矩阵（准对角矩阵是分块矩阵概念下的一种矩阵.即除去主对角线上分块矩阵不为零矩阵外,其余分块矩阵均为零矩阵）,则A ,B 可交换;
(6) 设A*是A 的伴随矩阵,则A*与A可交换;
(7) 设A可逆,则A 与其逆矩阵可交换;
注：A的逆矩阵经过数乘变换所得到的矩阵也可以与A进行交换.
(8) A^n （n=0,1...,n属于N）可与A^m(m=0,1...,m属于N)交换.这一点由矩阵乘法的交换律证明.
再问： 我也想过这样，但第二条式子，最后一个等号两边，原本相乘为数量的两个矩阵被拆开，结合顺序也发生变化
再答： 这个是完全没有问题的，你可以只考虑最终向量的第一个元素，对比vTbu和uvTb的结果，想想它们的本质，它是n个数乘以u1加和，而n个数也分别可以拆分成两个数乘积，一个是u1乘以vi再乘以bi加和，一个是vi乘以bi最后和乘以u1.本质是相同的，自然可以相等，也就是交换。