大师作文网一道线性代数关于向量的证明题
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/17 13:04:37
一道线性代数关于向量的证明题
设向量a1,a2,.,am线性相关,但其中任意m-1个向量都线性无关,证明:必存在m个全不为零的数k1,k2,...,km使得
k1*a1+k2+a2+...+km*am=0
虽然这道题用归谬法证相当简单,但是我打算再用直接证明的方法来试一次,以下是我的证明:
首先我不知道证明是否合理,其次这个证明感觉太粗糙了~有没有好一点的直接证明的方法?
设向量a1,a2,.,am线性相关,但其中任意m-1个向量都线性无关,证明:必存在m个全不为零的数k1,k2,...,km使得
k1*a1+k2+a2+...+km*am=0
虽然这道题用归谬法证相当简单,但是我打算再用直接证明的方法来试一次,以下是我的证明:
首先我不知道证明是否合理,其次这个证明感觉太粗糙了~有没有好一点的直接证明的方法?
你的证明是不对的,线性相关的充分必要条件是“其中一个向量可表示成其余向量的线性组合”,而不是“任意一个向量."
直接证明不太好描述,可这样证：
存在不全为0的k1,k2,.,km,使k1a1+k2a2+...+kmam=0,（1）
任取其中一个向量ai,由于其余的m-1个向量线性无关,而m个向量是线性相关的,因此由定理知,ai可写为其余m-1个向量的线性组合,且表示形式是唯一的.因此这个表示形式与(1)最多只差一个非零常数倍,因此ki≠0,由ki的任意性知所有系数均不为0.
再问： 关于任意一个向量,是因为其中任意m-1个向量都线性无关我才这么判断的
再答： 应该不能这样判断吧，感觉这样就好象你直接把结论得出来一样。
再问： 我是这样认为的.因为其中任意m-1个向量都线性无关,根据定理对任意ai都能有其余m-1个向量线性表示 对你的那个证明,最后一段我没看懂 "这个表示形式与(1)最多只差一个非零常数倍，因此ki≠0，由ki的任意性知所有系数均不为0" 是怎么得到所有系数非0的?
再答： 1、你前面的证明中还有一个问题，就是不能因为每个向量都能线性表示，就说明系数不为0。比如因为可能出现这种情况，a2,..,am表示a1时，a3的系数为0，而其它向量表示a2时，换成a4的系数为0了。因为你没有说明表示式是唯一的。 2、ki 是所有系数中任取的一个，它代表所有系数。
再问： 你的证明我看懂了~~可是我觉得好像我的证明方法的思想是跟你的思想是相似的~在我的证明图中第二个方程,实际上的确是与第一个方程的常数倍,并且当等式两边处以那个ki时,ki作为左边常数分式中的分母要使等式成立必然不为0~~而在我的证明中ki也是任意取. 我表达得不是很好,希望你能理解我的意思
再答： 你的证明思想本质上与我的是一致的，只是有几个关键地方我觉得你没说清楚。
直接证明不太好描述,可这样证：
存在不全为0的k1,k2,.,km,使k1a1+k2a2+...+kmam=0,（1）
任取其中一个向量ai,由于其余的m-1个向量线性无关,而m个向量是线性相关的,因此由定理知,ai可写为其余m-1个向量的线性组合,且表示形式是唯一的.因此这个表示形式与(1)最多只差一个非零常数倍,因此ki≠0,由ki的任意性知所有系数均不为0.
再问： 关于任意一个向量,是因为其中任意m-1个向量都线性无关我才这么判断的
再答： 应该不能这样判断吧，感觉这样就好象你直接把结论得出来一样。
再问： 我是这样认为的.因为其中任意m-1个向量都线性无关,根据定理对任意ai都能有其余m-1个向量线性表示 对你的那个证明,最后一段我没看懂 "这个表示形式与(1)最多只差一个非零常数倍，因此ki≠0，由ki的任意性知所有系数均不为0" 是怎么得到所有系数非0的?
再答： 1、你前面的证明中还有一个问题，就是不能因为每个向量都能线性表示，就说明系数不为0。比如因为可能出现这种情况，a2,..,am表示a1时，a3的系数为0，而其它向量表示a2时，换成a4的系数为0了。因为你没有说明表示式是唯一的。 2、ki 是所有系数中任取的一个，它代表所有系数。
再问： 你的证明我看懂了~~可是我觉得好像我的证明方法的思想是跟你的思想是相似的~在我的证明图中第二个方程,实际上的确是与第一个方程的常数倍,并且当等式两边处以那个ki时,ki作为左边常数分式中的分母要使等式成立必然不为0~~而在我的证明中ki也是任意取. 我表达得不是很好,希望你能理解我的意思
再答： 你的证明思想本质上与我的是一致的，只是有几个关键地方我觉得你没说清楚。