大师作文网一道初中数学几何综合证明题
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/10 16:14:34
一道初中数学几何综合证明题
如图所示,已知等边△ABC和等边△CDE的公共顶点为C,连结AE、BE,取AE的中点O,在BO延长线上取一点F,连结AF,使AF=BE,连结DF,求证：△AFD是等边三角形．
如图所示,已知等边△ABC和等边△CDE的公共顶点为C,连结AE、BE,取AE的中点O,在BO延长线上取一点F,连结AF,使AF=BE,连结DF,求证：△AFD是等边三角形．
证明：分别过点A ,E作AM垂直BF于M,EN垂直BF于N
所以角AMF=角ENB=90度
角AMO=角ENO=90度
所以三角形AMF和三角形ENB是直角三角形
因为O是AE的中点
所以OA=OE
因为角AOM=角EON（对顶角相等）
所以三角形AOM和三角形EON全等（AAS)
所以AM=EN
因为AF=BE
所以直角三角形AMF和直角三角形ENB全等（HL)
所以角AFB=角EBF
所以AF平行BE
所以角BAF+角ABE=180度
因为三角形ABC是等边三角形
所以AC=BC
角ABC=角BAC=角ACB=60度
因为三角形CDE是等边三角形
所以CD=CE
角DCE=60度
因为角ACD=角ACB+角BCD=60+角BCD
角BCE=角BCD+角DCE=60+角BCD
所以角ACD=角BCE
所以三角形ACD和三角形BCE全等（SAS)
所以AD=BE
角CAD=角CBE
所以AD=AF
所以三角形AFD是等腰三角形
因为角BAF=角BAC+角CAF=60+角CAF
角ABE=角ABC+角CBE=60+角CAD
所以角CAD+角CAF=角DAF=60度
所以三角形AFD是等边三角形
所以角AMF=角ENB=90度
角AMO=角ENO=90度
所以三角形AMF和三角形ENB是直角三角形
因为O是AE的中点
所以OA=OE
因为角AOM=角EON（对顶角相等）
所以三角形AOM和三角形EON全等（AAS)
所以AM=EN
因为AF=BE
所以直角三角形AMF和直角三角形ENB全等（HL)
所以角AFB=角EBF
所以AF平行BE
所以角BAF+角ABE=180度
因为三角形ABC是等边三角形
所以AC=BC
角ABC=角BAC=角ACB=60度
因为三角形CDE是等边三角形
所以CD=CE
角DCE=60度
因为角ACD=角ACB+角BCD=60+角BCD
角BCE=角BCD+角DCE=60+角BCD
所以角ACD=角BCE
所以三角形ACD和三角形BCE全等（SAS)
所以AD=BE
角CAD=角CBE
所以AD=AF
所以三角形AFD是等腰三角形
因为角BAF=角BAC+角CAF=60+角CAF
角ABE=角ABC+角CBE=60+角CAD
所以角CAD+角CAF=角DAF=60度
所以三角形AFD是等边三角形